Persamaan Linear Lengkap

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam era informasi dan era globalisasi cukup umur ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi kala 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu mempunyai warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas insan Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai yakni tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan perilaku kemandirian dalam diri penerima didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk insan Indonesia yang bisa menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan tiba (Semiawan, 1991 : 35).

B.     Rumusan Masalah

A.    Sistem Persamaan Linier

B.     Sistem Persamaan Kuadrat

C.     Sistem Persamaan Linier 2 Variabel

D.    Penerapan dari Sistem Perasamaan Linier, Sistem Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel

C.    Tujuan

Menguraikan Penerapan dari Sistem Perasamaan Linier, Sistem Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel

BAB II

PEMBAHASAN

A.      SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan linear yakni sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear alasannya korelasi matematis ini sanggup digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, menyerupai x³, y^1/2, dan bukanlah persamaan linear.

Contoh

Contoh sistem persamaan linear dua variabel:

,

,

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, menyerupai di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan aturan aljabar semoga menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, abjad besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y yakni variabelnya.

Bentuk Umum

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, kesannya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, menyerupai yang telah disepakati jago matematika bahwa konstanta dihentikan sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan menyerupai yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah saat garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y yakni saat garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Bentuk standar

Di mana, a dan b jikalau dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini sanggup diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b yakni nol.

Bentuk titik potong gradient

Sumbu-y

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y yakni persilangan dari sumbu-y. Ini sanggup digambarkan dengan x = 0, yang menunjukkan nilai y = b. Persamaan ini dipakai untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

Sumbu-x

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c yakni titik potong-x, dan titik koordinat x yakni persilangan dari sumbu-x. Ini sanggup digambarkan dengan y = 0, yang menunjukkan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

B.       PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat yakni persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c є R

Perhatikan beberapa fungsi kuadrat berikut ini:

a.       f(x) = 3x² + 2x + 5

b.      f(x) = 2x² + 3x

c.       f(x) = x² – 4

Jika semua fungsi kuadrat di atas bernilai nol, atau f(x) = 0, maka fungsi kuadrat tersebut menjadi

1.      3x² + 2x + 5 = 0

2.      2x² + 3x = 0

3.      x² – 4 = 0

Fungsi kuadrat yang demikian disebut persamaan kuadrat. Contoh :

1.      Persamaan kuadrat lengkap

2x² – 3x + 4 = 0 dan x² – x – 1 =0

2.  Persamaan kuadrat tidak lengkap

3x² + x = 0, x² – x = 0, dan –x² – 25 = 0

1.    Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, sesudah difaktorkan, contohnya diperoleh

(x – x₁) (x – x₂) = 0

↔ x = x₁ atau x = x₂

Dalam hal ini x₁ atau x₂ merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas. Hal tersebut menggambarkan suatu ketentuan bahwa (x – x₁) (x – x₂) = 0 dipenuhi oleh x = x₁ atau x = x₂

Contoh :

Tentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat 2x² + 6x = 0 dengan memfaktorkan !

Penyelesaian :

2x² + 6x = 0

↔ 2x (x + 3) = 0

↔ 2x = 0 atau x + 3 = 0

↔ x = 0 atau x = -3

Jadi penyelesaian persamaan tersebut yakni x₁ = 0 atau x₂ = -3

2.    Bentuk Kuadrat Sempurna

Contoh kuadrat tepat dua sentra x antara lain x², 4x², 9x², 16x², 25x², (9x + 3)² dan (x – 4)².

Selanjutnya kita pelajari cara menuntaskan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk (x + p)² = q dengan q ≥ 0, yaitu persamaan kuadrat yang ruas kirinya merupakan kuadrat sempurna. Contoh :

1.      x² – 9 = 0

↔ x² = 9

↔ x   = ± √9

↔ x   = ± 3

↔ x   = 3 atau x = -3

Jadi penyelesaian persamaan tersebut yakni x₁ = 3 atau x₂ = -3

3.    Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c є R dan x є R , dengan b² – 4ac ≥ 0 Rumus ini disebut rumus abc.

Catatan:

Sebelum menggunakan rumus abc, persamaan kuadrat harus dinyatakan dalam bentuk baku yaitu: ax² + bx + c = 0, jikalau b² – 4ac < 0, maka tidak ada penyelesaian untuk ax² + bx + c = 0.

Contoh:

Dengan menggunakan rumus abc tentukan penyelesaian dari x² – x – 6 = 0, dengan x peubah pada bilangan real !

Penyelesaian:

x² – x – 6

a = 1, b = 1, c = -6

atau

Jadi x₁ = -3 atau x₂ = 2

Catatan :

1.      Jika nilai b² – 4ac > 0 maka x mempunyai dua nilai real yang berlainan

2.      Jika nilai b² – 4ac = 0 maka x mempunyai satu nilai real

3.      Jika nilai b² – 4ac < 0 maka x tidak mempunyai nilai real.

C.      PERSAMAAN DUA VARIABEL

Sebelum mempelajari Persamaan Dua Variabel tentunya kita sudah ingat ihwal persamaan Linier Satu Variabel (PLSV). PLSV yakni persamaan yang memuat satu variabeldan pangkat dari variabelnya yakni satu.

Nah kini coba kita ingat kembali bahwa persamaan garis lurus pada bidang cartesiusdapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b   0 dan  x, y yakni variabel pada himpunan bilangan real.

Sekarang perhatikan persamaa x + 4y = 8, mempunyai dua variabel yaiti x dan y serta masing-masing variabel berpangkat satu.

Jadi kesimpulannya yakni Persamaan Linier Dua Variabel yakni suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu, dan sanggup dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c  R, a, b  0 dan x, y suatu variabel.

Beberapa pola PLDV

1.         3x + 6y = 12

2.         5p – 3q + 30 = 0

1.    Menentukan Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel

Perhatiakan persamaan x + y = 7. Persamaan x + y = 7 masih merupakan kalimat terbuka , artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika x diganti bilangan 2, maka nilai y yang memenuhi yakni 5, lantaran pasangan bilangan (2,5) memenuhi persamaan tersebut, maka persamaaan x + y = 7 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (2,5) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 7.

Untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 7 akan lebih gampang dengan menciptakan table menyerupai berikut :

X	0	1	2	3	4	5
Y	7	6	5	4	3	2
(x,y)	(0,7)	(1,6)	(2,5)	(3,4)	(4,3)	(5,2)

Jadi HP dari persamaan x + y = 7  adalah (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2). Gambar grafik persamaan x + y = 7 pada bidang cartesius tampak menyerupai gambar grafik lihat lampiran gambar grafik 1.1

2.    Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier dua variabel, yang keduanya tidak bangun sendiri, sehingga kedua persamaan hanya mempunyai satu penyelesaian

Berikut ini beberapa pola SPLDV :

1.            x + y = 3 dan 2x  3y = 1

2.            5x + 4y + 7 = 0 dan -3x  2y = 4

Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV

Himpunan penyelesaian SPLDV sanggup di selesaikan dengan 3 cara, yaitu :

1.            Dengan cara metode grafik.

2.            Dengan cara metode substitusi.

3.            Dengan cara metode eleminasi.

Himpunan penyelesaian SPLDV dengan metode grafik

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari SPLDV yakni koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik, maka himpunana penyelesaiannya yakni himpunan kosong.

Untuk memilih himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode grafik langkah-langkahnya yakni sebagai berikut :

1.            Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius.

2.            Koordinat titik potong dari garis merupakan himpunan penyelesaian, jikalau kedua garis tidak berpotongan (sejajar), maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian.

Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Substitusi

Pada metode substitusi terlebih dahulu kita menyatakan variabel yang satu kedalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menggantikan variabel itu dalam persamaan yang lain.

Untuk memilih himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode substitusi langkah-langkahnya yakni sebagai berikut :

1.      Menyatakan variabel dalam variabel lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya.

2.      Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain.

3.      Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12

x + 2y = 4 kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4  2y substitusikan x = 4  2y ke persamaan 3x + 2y = 12

3 ( 4  2y ) + 2y = 12

12  6y + 2y = 12

          4y = 12  12

              y = 0

Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4  2y

x = 4  2y

x = 4  2 . 0

x = 4

Jadi HP ( 4, 0 )

Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan metode Eleminasi

Pada metode eleminasi untuk memilih himpunan penyelesaian dari SPLDV, caranya dengan menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan tersebut. Pada cara eleminasi koefisien dari variabel harus sama atau dibentuk menjadi sama.

Untuk memilih himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara metode eleminasi langkah-langkahnya sebagai berikut :

1.            Nyatakan ke dua persamaan ke bentuk ax + by = c

2.            Samakan koefisien dari variabel yang akan di hilangkan, melalui cara mengalihkan dengan bilangan yang sesuai.

3.            Jika koefisien dari variabel bertanda sama ( sama positif atau negative ) maka kurangkan ke dua persamaan tersebut.

4.            Jika koefisien dari variabel yang di hilangkan tandanya berbeda ( positif atau negative ) maka jumlahkan kedua persamaan tersebut.

D.      PENERAPAN SISTEM LINIER, KUADRAT DAN DUA VARIABEL

1.      Persamaan Linier

Contoh Soal 1

Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Penyelesaian:

Kita misalkan harga 1 kg mangga = x dan harga 1 kg apel = y, maka:

2x + y = 15000

x + 2y = 18000

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, contohnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (2 . 18000 – 15000.1)/(2.2 – 1.1)

=> y = (36000 – 15000)/(4 – 1)

=> y = 21000/3

=> y = 7000

Substitusi nilai y = 7000 ke persamaan 2x + y = 15000, maka:

=> 2x + y = 15000

=> 2x + 7000 = 15000

=> 2x = 8000

=> x = 4000

Dengan demikian, harga 1 kg mangga yakni Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel yakni Rp7.000,00.

Harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah:

= 5x + 3y

= 5.4000 + 3.7000

= 20000 + 21000

= 41000

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel yakni Rp 41.000,00

2.      Persamaan Kuadrat

Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat

Seorang anak bangun di atas tebing yang mempunyai ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan saat berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola sesudah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan semoga bola tersebut hingga di permukaan tanah

Pembahasan Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t² + 20t + 6. Untuk memilih tinggi bola sesudah 3 detik, substitusikan t = 3 ke dalam persamaan tersebut.

Apabila bola hingga di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut yakni 0 meter. Sehingga dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang diharapkan semoga bola tersebut hingga di permukaan tanah yakni 4,28 detik.

3.      Dua Variabel

Contoh soal:

1.      Dua tahun yang kemudian seorang pria umurnya 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian umurnya akan menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!

Penyelesaian:

Misalkan umur ayah kini x tahun dan umur anaknya y tahun, maka

x – 2 = 6( y – 2 )

x – 6y = -10………… (1)

x + 18 = 2(y + 18   )

x – 2y = 18 ………… (2)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

x – 6y = -10

x – 2y = 18 –

-4y = – 28

y = 7

subtitusikan nilai y = 7 ke dalam persaman x – 2y = 18, maka diperoleh

x – 2(7) = 18

x – 14 =18

x = 32

jadi, kini umur ayah 32 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.

2.      Keliling sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang yakni 48 m. panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya. Tentukan ukuran tanah itu!

Penyelesaian

Misalnya panjang dan lebar tanah itu yakni x m dan y m.

Keliling = 2( panjang + lebar)

48 = 2(x + y) atau x + y = 24 ……….(1)

x = y + 6 atau x – y = 6 ……….(2)

dari persamaan (1) dan (2) sanggup diperoleh

x + y = 24

x – y = 6 –

2x = 30

x = 15

subtitusikan x = 15 ke dalam persamaan x + y = 24, sehingga diperoleh

15 + y = 24

y = 24 – 15

y = 9

jadi, ukuran tanah itu yakni 15 m x 9 m.

3.      Harga sebuah buku dan sebuah pensil RP 5.500,- harga 2 buku dan 3 buah pensil RP 12.500,-.

a. Nyatakan kalimat diatas dalam bentuk persamaan dengan peubah x dan y!

b. Selesaikan persamaan itu!

c. Tentukan harga 4 buah buku dan 3 buah pensil!

Penyelesaian:

a. Misalkan harga sebuah buku = x,rupiah

Harga sebuah pensil =y, rupiah

Maka persamaan dalam x dan y adalah

x + y = 5.500 …..(1)

2x + 3y = 12.500 …..(2)

b. Menyelesaikan persamaan diatas dengan disubtitusikan

x + y = 5.500

x = 5.500 – y

subtitusikan x = 5.500 – y ke persamaan 2

untuk x = 5.500 – y → maka 2x + 3y = 12.500

2(5.500 – y) + 3y = 12.500

11.000 – 2y + 3y = 12.500

11.000 + y = 12.500

y = 12.500-11.000

y = 1.500

subtitusikan y = 1.500 ke persamaan x = 5.500 – y

x = 5.500 – 1.500

x = 4.000

jadi nilai x dan y yakni Rp. 4.000 dan Rp. 1.500

c. Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil

= 4x + 3y

= 4(Rp.4.000,-) + 3(Rp. 1.500,-)

= Rp. 16.000,- + Rp. 4.500,-

= Rp. 20.500,-

Jadi, harga 4 buah buku dan 3 buah pensil yakni Rp. 20.500,-

BAB III

KESIMPULAN

Persamaan linear yakni sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear alasannya korelasi matematis ini sanggup digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) yakni kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menuntaskan problem sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai ihwal nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat sanggup ditentukan dengan rumus D=b2−4ac

Persamaan Linier Dua Variabel yakni suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu, dan sanggup dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c  R, a, b  0 dan x, y suatu variabel.

DAFTAR PUSTAKA

https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear

https://kanntongilmudunia.blogspot.com//search?q=cara-cepat-menyelesaikan-sistem-pldv">https://kanntongilmudunia.blogspot.com//search?q=cara-cepat-menyelesaikan-sistem-pldv

Share this post