Sistem Persamaan Linier Dan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan linier dan kuadrat :
y = ax + b
y = ax2 + bx + c
Dalam grafik cartesius, titik potong antara garis dan parabola merupakan penyelesaian sistem persamaan itu.
Metoda menuntaskan sistem persamaan ini ialah metoda substitusi dan eliminasi
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola berikut ini :
01. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 5x – 4 dan y = 3x + 4
Jawab
y = y
x2 + 5x – 4 = 3x + 4
x2 + 5x – 4 – 3x – 4 = 0
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 5
x1 = –4 dan x2 = 2
Untuk x1 = –4 maka y1 = 3x1 + 4 = 3(–4) + 4 = –8
Untuk x2 = 2 maka y2 = 3x2 + 4 = 3(2) + 4 = 10
Kaprikornus H = {(–4, –8), (2, 10)}
02. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Jawab
y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Sehingga:
3x + 2y = 7
3x + 2(x2 + 2x + 5) = 7
3x + 2x2 + 4x + 10 = 7
2x2 + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 5
x1 = –1/2 dan x2 = –3
Untuk x1 = –1/2 maka 3x1 + 2y1 = 7
3(–1/2) + 2y1 = 7
–3/2 + 2y1 = 7
2y1 = 17/2 maka y1 = 17/4
Untuk x2 = –3 maka 3x2 + 2y2 = 7
3(–3) + 2y2 = 7
–9 + 2y2 = 7
2y2 = 16
y2 = 8
Kaprikornus H = {(–1/2, 17/4), (–3, 8)}
Jika ditinjau dari gambar grafiknya, maka terdapat tiga macam kemungkinan penyelesaian sistim persamaan linier dan kuadrat.
Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi persamaan linier dan kuadrat, yakni:
untuk D > 0 memiliki dua titik penyelesaian
untuk D = 0 memiliki satu titik penyelesaian
untuk D < 0 tidak memiliki titik penyelesaian
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola berikut ini :
03. Jika sistem persamaan y = x2 – 4x + 3p dan y = 2x + 3 memiliki satu titik penyelesaian, maka tentukanlah nilai p
Jawab
y = y
x2 – 4x + 3p = 2x + 3
x2 – 4x + 3p – 2x – 3 = 0
x2 – 6x + 3p – 3 = 0
Syarat :
D = b2 – 4ac = 0
(–6)2 – 4(1)(3p – 3) = 0
36 – 4(3p – 3) = 0
36 – 12p + 12 = 0
–12p + 48 = 0
–12p = –48
p = 4
Sistem persamaan linier dan kuadrat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, antara lain dalam bidang fisika. Beberapa diantaranya akan diuraikan pada pola soal berikut ini:
01. Keliling sebuah persegi panjang ialah 18 cm. Jika panjang dan lebarnya bertambah 2 cm, maka luas persegipanjang tersebut menjadi 42 cm2. Carilah ukuran persegi panjang tersebut
Jawab
Misalkan panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l, maka
Keliling = 2 (p + l) = 18
p + l = 9
l = 9 – p ............................................................................ (1)
Setelah panjang dan lebar ditambah 2, maka luas persegi panjang menjadi
Luas = (p + 2) (l + 2) = 42 ............................................... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke (2) diperoleh
(p + 2) (9 – p + 2) = 42
(p + 2) (11 – p) = 42
11p – p2 + 22 – 2p = 42
11p – p2 + 22 – 42 = 0
p2 – 9p – 20 = 0
(p – 4)(p – 5) = 0
Kaprikornus p = 5 cm dan l = 9 – 5 = 4 cm
02. Diketahui jumlah dua bilangan ialah 9. Jika jumlah kuadrat kedua bilangan itu ialah 41, maka tentukanlah selisih kedua bilangan tersebut
Jawab
Misalkan kedua bilangan itu ialah x dan y, maka
x + y = 9 y = 9 – x ….……………………… (1)
x2 + y2 = 41 …………………………………(2)
Jika disubstitusikan (1) ke (2) diperoleh :
x2 + (9 – x)2 = 41
x2 + 81 – 2x + x2 = 41
2x2 – 2x + 40 = 0
x2 – x + 20 = 0
(x – 4)(x – 5) = 0
Untuk x = 4 diperoleh y = 9 – 4 = 5
Untuk x = 5 diperoleh y = 9 – 5 = 4
Kaprikornus kedua bilangan itu ialah 4 dan 5, sehingga selisihnya : 5 – 4 = 1
y = ax + b
y = ax2 + bx + c
Dalam grafik cartesius, titik potong antara garis dan parabola merupakan penyelesaian sistem persamaan itu.
Metoda menuntaskan sistem persamaan ini ialah metoda substitusi dan eliminasi
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola berikut ini :
01. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 5x – 4 dan y = 3x + 4
Jawab
y = y
x2 + 5x – 4 = 3x + 4
x2 + 5x – 4 – 3x – 4 = 0
x2 + 2x – 8 = 0
(x + 4)(x – 2) = 5
x1 = –4 dan x2 = 2
Untuk x1 = –4 maka y1 = 3x1 + 4 = 3(–4) + 4 = –8
Untuk x2 = 2 maka y2 = 3x2 + 4 = 3(2) + 4 = 10
Kaprikornus H = {(–4, –8), (2, 10)}
02. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Jawab
y = x2 + 2x + 5 dan 3x + 2y = 7
Sehingga:
3x + 2y = 7
3x + 2(x2 + 2x + 5) = 7
3x + 2x2 + 4x + 10 = 7
2x2 + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 5
x1 = –1/2 dan x2 = –3
Untuk x1 = –1/2 maka 3x1 + 2y1 = 7
3(–1/2) + 2y1 = 7
–3/2 + 2y1 = 7
2y1 = 17/2 maka y1 = 17/4
Untuk x2 = –3 maka 3x2 + 2y2 = 7
3(–3) + 2y2 = 7
–9 + 2y2 = 7
2y2 = 16
y2 = 8
Kaprikornus H = {(–1/2, 17/4), (–3, 8)}
Jika ditinjau dari gambar grafiknya, maka terdapat tiga macam kemungkinan penyelesaian sistim persamaan linier dan kuadrat.
Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi persamaan linier dan kuadrat, yakni:
untuk D > 0 memiliki dua titik penyelesaian
untuk D = 0 memiliki satu titik penyelesaian
untuk D < 0 tidak memiliki titik penyelesaian
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola berikut ini :
03. Jika sistem persamaan y = x2 – 4x + 3p dan y = 2x + 3 memiliki satu titik penyelesaian, maka tentukanlah nilai p
Jawab
y = y
x2 – 4x + 3p = 2x + 3
x2 – 4x + 3p – 2x – 3 = 0
x2 – 6x + 3p – 3 = 0
Syarat :
D = b2 – 4ac = 0
(–6)2 – 4(1)(3p – 3) = 0
36 – 4(3p – 3) = 0
36 – 12p + 12 = 0
–12p + 48 = 0
–12p = –48
p = 4
Sistem persamaan linier dan kuadrat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, antara lain dalam bidang fisika. Beberapa diantaranya akan diuraikan pada pola soal berikut ini:
01. Keliling sebuah persegi panjang ialah 18 cm. Jika panjang dan lebarnya bertambah 2 cm, maka luas persegipanjang tersebut menjadi 42 cm2. Carilah ukuran persegi panjang tersebut
Jawab
Misalkan panjang persegi panjang = p dan lebarnya = l, maka
Keliling = 2 (p + l) = 18
p + l = 9
l = 9 – p ............................................................................ (1)
Setelah panjang dan lebar ditambah 2, maka luas persegi panjang menjadi
Luas = (p + 2) (l + 2) = 42 ............................................... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke (2) diperoleh
(p + 2) (9 – p + 2) = 42
(p + 2) (11 – p) = 42
11p – p2 + 22 – 2p = 42
11p – p2 + 22 – 42 = 0
p2 – 9p – 20 = 0
(p – 4)(p – 5) = 0
Kaprikornus p = 5 cm dan l = 9 – 5 = 4 cm
02. Diketahui jumlah dua bilangan ialah 9. Jika jumlah kuadrat kedua bilangan itu ialah 41, maka tentukanlah selisih kedua bilangan tersebut
Jawab
Misalkan kedua bilangan itu ialah x dan y, maka
x + y = 9 y = 9 – x ….……………………… (1)
x2 + y2 = 41 …………………………………(2)
Jika disubstitusikan (1) ke (2) diperoleh :
x2 + (9 – x)2 = 41
x2 + 81 – 2x + x2 = 41
2x2 – 2x + 40 = 0
x2 – x + 20 = 0
(x – 4)(x – 5) = 0
Untuk x = 4 diperoleh y = 9 – 4 = 5
Untuk x = 5 diperoleh y = 9 – 5 = 4
Kaprikornus kedua bilangan itu ialah 4 dan 5, sehingga selisihnya : 5 – 4 = 1