Hubungan Dua Lingkaran
Kedudukan bulat L1 terhadap L2
ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 – 4ac, hasil dari substitusi kedua persamaan bulat tersebut dengan ketentuan :
(1) Jika D > 0 kedua bulat berpotongan di dua titik
Dalam hal ini : r1 + r2 > P1P2
(2) Jika D = 0 kedua bulat bersinggungan di satu titik
(3) Jika D < 0 kedua bulat saling lepas
Sebagai rujukan kedudukan bulat x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap bulat x2 + y2 + 4x + 2y – 7 = 0 yakni berpotongan di dua titik, karena:
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
01. Bagaimanakah kedudukan bulat x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0 dan bulat x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0
Jawab
02. Bagaimanakah kedudukan bulat x2 + y2 + 5x – 3y – 14 = 0 dan bulat x2 + y2 + 4x – 2y – 12 = 0 ? Jika berpotongan atau bersinggungan, tentukanlah titik potong atau titik singggungnya
Jawab
Garis Kuasa
Garis kuasa dua bulat yakni suatu garis yang merupakan kawasan kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap kedua bulat tersebut. Garis kuasa dua bulat selalu tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua sentra lingkaran
Persamaan garis kuasa pada bulat L1 = x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 = x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 dirumuskan:
(A1 – A2)x + (B1 – B2)y = (C2 – C1)
03. Tentukanlah persamaan garis kuasa yang memiliki kuasa sama terhadap bulat x2 + y2 – 10x + 4y + 20 = 0 dan x2 + y2 + 6x + 8y + 8 = 0
Jawab
04. Titik P(11, a) memiliki kuasa sama terhadap bulat x2 + y2 + 8x – 4y – 10 = 0 dan bulat x2 + y2 + 6x + 2y – 6 = 0, Tentukanlah nilai a
Jawab
Dua bulat L1 dan L2 dikatakan ortogonal jikalau kedua bulat itu saling berpotongan dimana terdapat garis singgung g dan h yang saling tegak lurus.
Sehingga berlaku: P1P22 = r12 + r22
Sebagai rujukan :
05. Jika dua bulat x2 + y2 + 8x – 10y + 5 = 0 dan x2 + y2 – 12x – 10y + p = 0 saling ortogonal, maka nilai tentukan nilai p
Jawab
Titik Kuasa terhadap tiga lingkaran L1, L2 dan L3 adalalah titik potong ketiga garis kuasa lingkaran-lingkaran itu, sehingga titik kuasa tersebut memiliki kuasa sama terhadap ketiga lingkaran L1, L2 dan L3
Jika g yakni garis kuasa terhadap lingkaran L1 dan L3
h yakni garis kuasa terhadap bulat L1 dan L2
s yakni garis kuasa terhadap lingkaran L2 dan L3
maka P yakni titik kuasa terhadap lingkaran L1, L2 dan L3
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini :
06. Tentukanlah titik kuasa terhadap tiga lingkaran
x2 + y2 + 5x + 3y – 7 = 0
x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0
x2 + y2 + x + 4y + 4 = 0
Jawab
Garis singgung komplotan pada dua bulat L1 dan L2 adalah suatu garis yang menyinggung L1 dan menyinggung pula L2. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu :
(1) Garis singung komplotan luar
Panjang garis singgung komplotan luar bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
(2) Garis singgung komplotan dalam
Panjang ruas garis komplotan dalam bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini:
07. Jika g yakni garis singgung komplotan luar bulat x2 + y2 + 2x – 8y – 32 = 0 dan x2 + y2 – 10x – 24y + 168 = 0 serta A dan B yakni titik singgung g pada kedua bulat itu maka tentukanlah panjang ruas garis AB
Jawab
Rumus memilih Panjang sabuk Lilitan pada dua bulat yakni sebagai berikut :
1. Panjang sabuk lilitan luar
Panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
2. Panjang sabuk lilitan dalam
Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang menghubungkan bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini:
08. Lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari 8 cm dan 2 cm, serta jarak kedua sentra bulat itu sama dengan 12 cm. Tentukan panjang sabuk lilitan luar minimal yang diharapkan untuk menghubungkan bulat L1 dan L2
Jawab
ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 – 4ac, hasil dari substitusi kedua persamaan bulat tersebut dengan ketentuan :
(1) Jika D > 0 kedua bulat berpotongan di dua titik
Dalam hal ini : r1 + r2 > P1P2
(2) Jika D = 0 kedua bulat bersinggungan di satu titik
(3) Jika D < 0 kedua bulat saling lepas
Sebagai rujukan kedudukan bulat x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap bulat x2 + y2 + 4x + 2y – 7 = 0 yakni berpotongan di dua titik, karena:
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
01. Bagaimanakah kedudukan bulat x2 + y2 + 4x + 2y – 15 = 0 dan bulat x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0
Jawab
02. Bagaimanakah kedudukan bulat x2 + y2 + 5x – 3y – 14 = 0 dan bulat x2 + y2 + 4x – 2y – 12 = 0 ? Jika berpotongan atau bersinggungan, tentukanlah titik potong atau titik singggungnya
Jawab
Garis Kuasa
Garis kuasa dua bulat yakni suatu garis yang merupakan kawasan kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap kedua bulat tersebut. Garis kuasa dua bulat selalu tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua sentra lingkaran
Persamaan garis kuasa pada bulat L1 = x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 = x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 dirumuskan:
(A1 – A2)x + (B1 – B2)y = (C2 – C1)
03. Tentukanlah persamaan garis kuasa yang memiliki kuasa sama terhadap bulat x2 + y2 – 10x + 4y + 20 = 0 dan x2 + y2 + 6x + 8y + 8 = 0
Jawab
04. Titik P(11, a) memiliki kuasa sama terhadap bulat x2 + y2 + 8x – 4y – 10 = 0 dan bulat x2 + y2 + 6x + 2y – 6 = 0, Tentukanlah nilai a
Jawab
Dua bulat L1 dan L2 dikatakan ortogonal jikalau kedua bulat itu saling berpotongan dimana terdapat garis singgung g dan h yang saling tegak lurus.
Sehingga berlaku: P1P22 = r12 + r22
Sebagai rujukan :
05. Jika dua bulat x2 + y2 + 8x – 10y + 5 = 0 dan x2 + y2 – 12x – 10y + p = 0 saling ortogonal, maka nilai tentukan nilai p
Jawab
Titik Kuasa terhadap tiga lingkaran L1, L2 dan L3 adalalah titik potong ketiga garis kuasa lingkaran-lingkaran itu, sehingga titik kuasa tersebut memiliki kuasa sama terhadap ketiga lingkaran L1, L2 dan L3
Jika g yakni garis kuasa terhadap lingkaran L1 dan L3
h yakni garis kuasa terhadap bulat L1 dan L2
s yakni garis kuasa terhadap lingkaran L2 dan L3
maka P yakni titik kuasa terhadap lingkaran L1, L2 dan L3
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini :
06. Tentukanlah titik kuasa terhadap tiga lingkaran
x2 + y2 + 5x + 3y – 7 = 0
x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0
x2 + y2 + x + 4y + 4 = 0
Jawab
(1) Garis singung komplotan luar
Panjang garis singgung komplotan luar bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
(2) Garis singgung komplotan dalam
Panjang ruas garis komplotan dalam bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini:
07. Jika g yakni garis singgung komplotan luar bulat x2 + y2 + 2x – 8y – 32 = 0 dan x2 + y2 – 10x – 24y + 168 = 0 serta A dan B yakni titik singgung g pada kedua bulat itu maka tentukanlah panjang ruas garis AB
Jawab
Rumus memilih Panjang sabuk Lilitan pada dua bulat yakni sebagai berikut :
1. Panjang sabuk lilitan luar
Panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
2. Panjang sabuk lilitan dalam
Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang menghubungkan bulat L1 dan L2 ditentukan dengan rumus:
Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah rujukan soal berikut ini:
08. Lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari 8 cm dan 2 cm, serta jarak kedua sentra bulat itu sama dengan 12 cm. Tentukan panjang sabuk lilitan luar minimal yang diharapkan untuk menghubungkan bulat L1 dan L2
Jawab
