Pengembangan Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Jika u(x) dan v(x) ialah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u‟(x) dan v‟(x) ialah turunannya, maka kita sanggup menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:
Untuk lebih jelasnya ikutilah referensi soal berikut ini:
01. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini :
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
Misalkan
u = x2 – 4x maka u' = 2x
v = 2x + 3 maka v' = 2
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f '(x) = 2x2 + 6x + 2x2 – 8x
f '(x) = 4x2 – 2x
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u' = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v' = 4
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f '(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f '(x) = 24x2 + 16x – 26
02. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini
Jawab
03. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini :
f(x) = 3(2x + 4)5
Jawab
f(x) = 3(2x + 4)5
Misalkan u = 2x + 4 maka u' = 2
Makara f (x) = 3u5
f '(x) = 15u4.u'
f '(x) = 15(2x + 4)4(2)
f '(x) = 30(2x + 4)4
Disamping ketiga hukum di atas, terdapat juga hukum rantai untuk memilih turunan pemangkatan fungsi. Aturan ini mengambil dasar dari notasi Leibniz untuk turunan, sebagai berikut :
Misalkan f, g dan h ialah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real, sehingga kalau y = f { g(x) } maka hukum rantai untuk turunan fungsi y terhadap x ialah :
Untuk lebih jelasnya ikutilah referensi soal berikut ini:
04. Dengan hukum rantai, tentukanlah turunan setiap fungsi berikut ini
y = 3(x2 - 6x + 8)5
Jawab
Selain itu, ada juga turunan pertama, kedua, dan seterusnya. Penjelasannya sebagai berikut.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah referensi soal berikut ini
05. Tentukanlah nilai turunan kedua dari setiap fungsi berikut ini untuk setiap nilai x yang diberikan
(a) f(x) = 2x3 –7x2 – 4x + 8
untuk x = 5
Jawab
f(x) = 2x3 –7x2 – 4x + 8
maka
f '(x) = 6x2 – 14x – 4
f ''(x) = 12x – 14
Sehingga :
f ''(5) = 12(5) – 14
f '‟(2) = 60 – 14
f '‟(2) = 46
Untuk lebih jelasnya ikutilah referensi soal berikut ini:
01. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini :
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Jawab
(a) f(x) = (x2 – 4x)(2x + 3)
Misalkan
u = x2 – 4x maka u' = 2x
v = 2x + 3 maka v' = 2
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (2x)(2x + 3) + (x2 – 4x)(2)
f '(x) = 2x2 + 6x + 2x2 – 8x
f '(x) = 4x2 – 2x
(b) f(x) = (2x2 + 3x – 5)(4x – 2)
Misalkan
u = 2x2 + 3x – 5 maka u' = 4x + 3
v = 4x – 2 maka v' = 4
maka
f '(x) = u'.v + u.v'
f '(x) = (4x + 3)(4x – 2) + (2x2 + 3x – 5)(4)
f '(x) = 16x2 – 8x + 12x – 6 + 8x2 + 12x – 20
f '(x) = 24x2 + 16x – 26
02. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini
03. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi aljabar berikut ini :
f(x) = 3(2x + 4)5
Jawab
f(x) = 3(2x + 4)5
Misalkan u = 2x + 4 maka u' = 2
Makara f (x) = 3u5
f '(x) = 15u4.u'
f '(x) = 15(2x + 4)4(2)
f '(x) = 30(2x + 4)4
Disamping ketiga hukum di atas, terdapat juga hukum rantai untuk memilih turunan pemangkatan fungsi. Aturan ini mengambil dasar dari notasi Leibniz untuk turunan, sebagai berikut :
Misalkan f, g dan h ialah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real, sehingga kalau y = f { g(x) } maka hukum rantai untuk turunan fungsi y terhadap x ialah :
Untuk lebih jelasnya ikutilah referensi soal berikut ini:
04. Dengan hukum rantai, tentukanlah turunan setiap fungsi berikut ini
y = 3(x2 - 6x + 8)5
Jawab
Untuk lebih jelasnya, ikutilah referensi soal berikut ini
05. Tentukanlah nilai turunan kedua dari setiap fungsi berikut ini untuk setiap nilai x yang diberikan
(a) f(x) = 2x3 –7x2 – 4x + 8
untuk x = 5
Jawab
f(x) = 2x3 –7x2 – 4x + 8
maka
f '(x) = 6x2 – 14x – 4
f ''(x) = 12x – 14
Sehingga :
f ''(5) = 12(5) – 14
f '‟(2) = 60 – 14
f '‟(2) = 46