Aturan Cosinus
Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan hukum perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku. Selanjutnya akan dibahas pula hukum perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku. Aturan ini terdiri dari hukum sinus dan hukum kosinus.
(2) Aturan kosinus
Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c
sisi AC = b
sisi BC = a
Terdapat garis tinggi CD = h tegak lurus AB sehingga berdasarkan teorema Pythagoras berlaku
BC2 = BD2 + DC2
a2 = BD2 + h2 ……………………………… (1)
Karena BD = AB – AD
maka BD = c – b.cos A ……………………………………………………….(3)
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :
a2 = BD2 + h2
a2 = (c – b.cosA)2 + (b. sin A)2
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.cos2A + b2. sin2 A
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.[cos2A + sin2 A]
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.[1]
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
Dengan cara yang sama, kalau ditarik garis tinggi h dari titik A dan titik B, maka akan didapat bentuk hukum kosinus yang lain, yaitu : b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
Sehingga disimpulkan : Pada segitiga ABC berlaku:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal berikut ini :
01. Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 6 cm dan sisi BC = 4 cm serta < C = 120o . Maka tentukanlah panjang sisi AB
Jawab
Diketahui AC = b = 6 cm
BC = a = 4 cm
< C = 120o
Ditanya : AB = c = ……………..?
Maka :
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
c2 = 42 + 62 – 2(4)(6).cos 120o
c2 = 16 + 36 – 48.(–1/2)
c2 = 16 + 36 + 24
c2 = 76
02. Suatu segitiga KLM diketahui sisi KL = 6 cm dan LM = √27 cm serta KM = 3 cm. Maka tentukanlah besar < L
Jawab
Diketahui KL = m = 6 cm
LM = k = √27 cm
KM = l = 3 cm
Ditanya : < L = ……………..?
Maka :
03. Sebuah kapal berlayar dengan arah 110o dari suatu pelabuhan dengan kecepatan 12 km/jam. Pada ketika yang sama terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah 50o dari pelabuhan tersebut dengan kecepatan 8 km/jam. Berapa jarak kedua kapal itu sesudah berlayar selama 5 jam ?
Jawab
Jarak kedua kapal = AB
sehingga :
p2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos P
p2 = 402 + 602 – 2.40.60.cos 60o
p2 = 1600 + 3600 – 2.40.60.(1/2)
p2 = 5200 – 2400
p2 = 2800
(2) Aturan kosinus
Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = c
sisi AC = b
sisi BC = a
Terdapat garis tinggi CD = h tegak lurus AB sehingga berdasarkan teorema Pythagoras berlaku
BC2 = BD2 + DC2
a2 = BD2 + h2 ……………………………… (1)
maka BD = c – b.cos A ……………………………………………………….(3)
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :
a2 = BD2 + h2
a2 = (c – b.cosA)2 + (b. sin A)2
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.cos2A + b2. sin2 A
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.[cos2A + sin2 A]
a2 = c2 – 2.c.b.cosA + b2.[1]
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
Dengan cara yang sama, kalau ditarik garis tinggi h dari titik A dan titik B, maka akan didapat bentuk hukum kosinus yang lain, yaitu : b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
Sehingga disimpulkan : Pada segitiga ABC berlaku:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
Untuk lebih jelasnya, ikutilah teladan soal berikut ini :
01. Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 6 cm dan sisi BC = 4 cm serta < C = 120o . Maka tentukanlah panjang sisi AB
Jawab
Diketahui AC = b = 6 cm
BC = a = 4 cm
< C = 120o
Ditanya : AB = c = ……………..?
Maka :
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
c2 = 42 + 62 – 2(4)(6).cos 120o
c2 = 16 + 36 – 48.(–1/2)
c2 = 16 + 36 + 24
c2 = 76
02. Suatu segitiga KLM diketahui sisi KL = 6 cm dan LM = √27 cm serta KM = 3 cm. Maka tentukanlah besar < L
Jawab
Diketahui KL = m = 6 cm
LM = k = √27 cm
KM = l = 3 cm
Ditanya : < L = ……………..?
Maka :
03. Sebuah kapal berlayar dengan arah 110o dari suatu pelabuhan dengan kecepatan 12 km/jam. Pada ketika yang sama terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah 50o dari pelabuhan tersebut dengan kecepatan 8 km/jam. Berapa jarak kedua kapal itu sesudah berlayar selama 5 jam ?
Jawab
p2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos P
p2 = 402 + 602 – 2.40.60.cos 60o
p2 = 1600 + 3600 – 2.40.60.(1/2)
p2 = 5200 – 2400
p2 = 2800
