Pernyataan Beragam (Negasi Kalimat Majemuk)
Negasi dari pernyataan beragam ialah negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Seperti yang telah dijelaskan dimuka, kalau p ialah suatu pernyataan, maka negasi p ditulis –p dan dibaca: “tidak benar bahwa p”, sehingga :
1. –(p Ʌ q) dibaca “tidak benar bahwa (p Ʌ q)”
2. –(p V q) dibaca “tidak benar bahwa (p V q)”
3. –(p → q) dibaca “tidak benar bahwa (p → q)”
4. –(p ↔ q) dibaca “tidak benar bahwa (p ↔ q)”
Aturan negari dari pernyataan beragam sanggup dituliskan sebagai berikut :
1. –(p Ʌ q) ≡ –p V –q
2. –(p V q) ≡ –p Ʌ –q
3. –(p → q) ≡ p Ʌ –q
4. –(p ↔ q) ≡ –(p → q) V –(q → p)
–(p ↔ q) ≡ (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
Bukti untuk masing-masing negasi dari pernyataan beragam di atas akan dijelaskan pada pembahasan perihal ekivalensi di bagia selanjutnya.
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
09. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur
(b) Kakek menanam cabai dan tomat di belakang rumah
(c) 2 atau 5 ialah faktor dari 20
(d) 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4
Jawab
(a) Tidak benar bahwa ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur
Dengan kata lain:
ayah tidak pergi ke sawah atau ibu tidak memasak di dapur
(b) Tidak benar bahwa kakek menanam cabai dan tomat di belakang rumah
Dengan kata lain:
Kakek tidak menanam cabai atau tidak menanam tomat di belakang rumah
(c) Tidak benar bahwa 2 atau 5 ialah faktor dari 20
Dengan kata lain:
2 bukan faktor dari 20 dan 5 juga bukan faktor dari 20
(d) Tidak benar bahwa 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4
Dengan kata lain:
12 tidak habis dibagi 3 atau 15 habis dibagi 4
10. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Jika Andi naik kelas maka dia akan dibelikan sepeda motor
(b) Jika x bilangan prima maka x tidak habis dibagi 5
(c) Andi akan tinggal di Yogyakarta kalau dan hanya kalau dia kuliah di UGM
(d) x bilangan ganjil kalau dan hanya kalau x tidak habis dibagi 2
(e) Wati tidak makan pagi kalau dan hanya kalau dia terlambat tiba ke sekolah
Jawab
(a) Andi naik kelas tetapi dia tidak dibelikan sepeda motor
(b) x bilangan prima tetapi x habis dibagi 5
(c) Andi tinggal di Yogyakarta tetapi dia tidak kuliah di UGM atau Andi kuliah di UGM tetapi dia tidak tinggal di Yogyakarta
(d) x bilangan ganjil tetapi x habis dibagi 2 atau x tidak habis dibagi 2 tetapi x bukan bilangan ganjil
(e) Wati tidak makan pagi tetapi dia tidak terlambat tiba ke sekolah atau Wati terlambat tiba ke sekolah tetapi dia makan pagi
11. Jika p ialah pernyataan benar, dan q ialah pernyataan salah, maka tentukanlah nilai nilai kebenaran dari pernyataan beragam berikut:
(a) (–p Ʌ q ) → –p
(b) (p v q) ↔ (–p → q)
(c) (–p v –q) → –(p Ʌ –q)
Jawab
(a) (–p Ʌ q ) → –p ≡ (–B Ʌ S ) → –B
≡ (S Ʌ S ) → S
≡ S → S
≡ B
(b) (p v q) ↔ (–p → q) ≡ (B v S) ↔ (–B → S)
≡ B ↔ (S → S)
≡ B ↔ B
≡ B
(c) (–p v –q) → –(p Ʌ –q) ≡ (–B v –S) → –(B Ʌ –S)
≡ (S v B) → –(B Ʌ B)
≡ B → –B
≡ B → S
≡ S
12. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
(b) Jika Arman mangkir sekolah maka dia pergi ke pantai atau menonton bioskop
(c) x kelipatan 6 kalau dan hanya kalau x bilangan genap dan x habis dibagi 3
(d) Ayah membawa cangkul atau bendo kalau dan hanya kalau dia pergi ke kebun
Jawab
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
Misalkan :
a ≡ “kerbau berkaki empat”
b ≡ “ayam berkaki dua”
c ≡ “Gajah Mada berkaki dua”
Menurut rumus : (p → q) negasinya p Ʌ –q
maka : (a Ʌ b) → c negasinya (a Ʌ b) Ʌ –c
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua tetapi Gajah mada tidak berkaki dua
(b) Jika Arman mangkir sekolah maka dia pergi ke pantai atau menonton bioskop
Misalkan :
a ≡ “Arman mangkir sekolah”
b ≡ “Arman pergi ke pantai”
c ≡ “Arman menonton bioskop”
Menurut rumus : (p → q) negasinya p Ʌ –q
maka : a → (b V c) negasinya a Ʌ (–b Ʌ –c)
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
Arman mangkir sekolah tetapi dia tidak pergi ke pantai dan tidak menonton bioskop
(c) x kelipatan 6 kalau dan hanya kalau x bilangan genap dan x habis dibagi 3
Misalkan :
a ≡ “x kelipatan 6”
b ≡ “x bilangan genap”
c ≡ “x habis dibagi 3”
Menurut rumus : (p ↔ q) negasinya (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
maka : a ↔ (b Ʌ c) negasinya ( a Ʌ –[b Ʌ c] ) V ( [b Ʌ c] Ʌ –a )
(a Ʌ –b V –c) V (b Ʌ c Ʌ –a)
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
x kelipatan 6 tetapi x bilangan ganjil atau x tidak habis dibagi 3 atau x bilangan genap dan x habis dibagi 3 tetapi x bukan kelipatan 6
1. –(p Ʌ q) dibaca “tidak benar bahwa (p Ʌ q)”
2. –(p V q) dibaca “tidak benar bahwa (p V q)”
3. –(p → q) dibaca “tidak benar bahwa (p → q)”
4. –(p ↔ q) dibaca “tidak benar bahwa (p ↔ q)”
Aturan negari dari pernyataan beragam sanggup dituliskan sebagai berikut :
1. –(p Ʌ q) ≡ –p V –q
2. –(p V q) ≡ –p Ʌ –q
3. –(p → q) ≡ p Ʌ –q
4. –(p ↔ q) ≡ –(p → q) V –(q → p)
–(p ↔ q) ≡ (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
Bukti untuk masing-masing negasi dari pernyataan beragam di atas akan dijelaskan pada pembahasan perihal ekivalensi di bagia selanjutnya.
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
09. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur
(b) Kakek menanam cabai dan tomat di belakang rumah
(c) 2 atau 5 ialah faktor dari 20
(d) 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4
Jawab
(a) Tidak benar bahwa ayah pergi ke sawah dan ibu memasak di dapur
Dengan kata lain:
ayah tidak pergi ke sawah atau ibu tidak memasak di dapur
(b) Tidak benar bahwa kakek menanam cabai dan tomat di belakang rumah
Dengan kata lain:
Kakek tidak menanam cabai atau tidak menanam tomat di belakang rumah
(c) Tidak benar bahwa 2 atau 5 ialah faktor dari 20
Dengan kata lain:
2 bukan faktor dari 20 dan 5 juga bukan faktor dari 20
(d) Tidak benar bahwa 12 habis dibagi 3 tetapi 15 tidak habis dibagi 4
Dengan kata lain:
12 tidak habis dibagi 3 atau 15 habis dibagi 4
10. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Jika Andi naik kelas maka dia akan dibelikan sepeda motor
(b) Jika x bilangan prima maka x tidak habis dibagi 5
(c) Andi akan tinggal di Yogyakarta kalau dan hanya kalau dia kuliah di UGM
(d) x bilangan ganjil kalau dan hanya kalau x tidak habis dibagi 2
(e) Wati tidak makan pagi kalau dan hanya kalau dia terlambat tiba ke sekolah
Jawab
(a) Andi naik kelas tetapi dia tidak dibelikan sepeda motor
(b) x bilangan prima tetapi x habis dibagi 5
(c) Andi tinggal di Yogyakarta tetapi dia tidak kuliah di UGM atau Andi kuliah di UGM tetapi dia tidak tinggal di Yogyakarta
(d) x bilangan ganjil tetapi x habis dibagi 2 atau x tidak habis dibagi 2 tetapi x bukan bilangan ganjil
(e) Wati tidak makan pagi tetapi dia tidak terlambat tiba ke sekolah atau Wati terlambat tiba ke sekolah tetapi dia makan pagi
11. Jika p ialah pernyataan benar, dan q ialah pernyataan salah, maka tentukanlah nilai nilai kebenaran dari pernyataan beragam berikut:
(a) (–p Ʌ q ) → –p
(b) (p v q) ↔ (–p → q)
(c) (–p v –q) → –(p Ʌ –q)
Jawab
(a) (–p Ʌ q ) → –p ≡ (–B Ʌ S ) → –B
≡ (S Ʌ S ) → S
≡ S → S
≡ B
(b) (p v q) ↔ (–p → q) ≡ (B v S) ↔ (–B → S)
≡ B ↔ (S → S)
≡ B ↔ B
≡ B
(c) (–p v –q) → –(p Ʌ –q) ≡ (–B v –S) → –(B Ʌ –S)
≡ (S v B) → –(B Ʌ B)
≡ B → –B
≡ B → S
≡ S
12. Nyatakanlah negasi dari setiap pernyataan beragam berikut ini :
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
(b) Jika Arman mangkir sekolah maka dia pergi ke pantai atau menonton bioskop
(c) x kelipatan 6 kalau dan hanya kalau x bilangan genap dan x habis dibagi 3
(d) Ayah membawa cangkul atau bendo kalau dan hanya kalau dia pergi ke kebun
Jawab
(a) Jika kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua maka Gajah Mada juga berkaki dua
Misalkan :
a ≡ “kerbau berkaki empat”
b ≡ “ayam berkaki dua”
c ≡ “Gajah Mada berkaki dua”
Menurut rumus : (p → q) negasinya p Ʌ –q
maka : (a Ʌ b) → c negasinya (a Ʌ b) Ʌ –c
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
kerbau berkaki empat dan ayam berkaki dua tetapi Gajah mada tidak berkaki dua
(b) Jika Arman mangkir sekolah maka dia pergi ke pantai atau menonton bioskop
Misalkan :
a ≡ “Arman mangkir sekolah”
b ≡ “Arman pergi ke pantai”
c ≡ “Arman menonton bioskop”
Menurut rumus : (p → q) negasinya p Ʌ –q
maka : a → (b V c) negasinya a Ʌ (–b Ʌ –c)
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
Arman mangkir sekolah tetapi dia tidak pergi ke pantai dan tidak menonton bioskop
(c) x kelipatan 6 kalau dan hanya kalau x bilangan genap dan x habis dibagi 3
Misalkan :
a ≡ “x kelipatan 6”
b ≡ “x bilangan genap”
c ≡ “x habis dibagi 3”
Menurut rumus : (p ↔ q) negasinya (p Ʌ –q) V (q Ʌ –p)
maka : a ↔ (b Ʌ c) negasinya ( a Ʌ –[b Ʌ c] ) V ( [b Ʌ c] Ʌ –a )
(a Ʌ –b V –c) V (b Ʌ c Ʌ –a)
sehingga negasi perrnyataan di atas menjadi :
x kelipatan 6 tetapi x bilangan ganjil atau x tidak habis dibagi 3 atau x bilangan genap dan x habis dibagi 3 tetapi x bukan kelipatan 6