Nilai Optimum Fungsi Sasaran
Suatu fungsi target dalam kegiatan linier dengan dua variabel sanggup dinyatakan dalam bentuk : f(x, y) = ax + by dimana a dan b anggota bilangan real. Fungsi objektif ini dimaksudkan untuk memilih nilai optimum dalam suatu soal cerita. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).
Nilai optimum suatu fungsi target sanggup ditentukan dengan memakai titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam kawasan penyelesaian.
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y ≤ 6
2x + 3y ≤ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Nilai optimum suatu fungsi target sanggup ditentukan dengan memakai titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam kawasan penyelesaian.
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y ≤ 6
2x + 3y ≤ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Himpunan penyelesaiannya yaitu kawasan segiempat yang bebas dari arsiran, dan titik-titik ujinya yaitu A, B dan C
Titik A koordinatnya yaitu A(0, 5)
Titik C koordinatnya yaitu C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
alasannya x + y = 6 maka x + 3 = 6, sehingga x = 3
Makara koordinat titik B yaitu B(3, 3)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 5x + 3y, sehingga diperoleh :
A(0, 5) → f(A) = 5(0) + 3(5) = 15
B(3, 3) → f(B) = 5(3) + 3(3) = 24
C(6, 0) → f(C) = 5(6) + 3(0) = 30
Makara nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 30
02. Tentukanlah nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 3y pada kawasan yang diarsir berikut ini
Garis g melalui dua titik yakni (0, 6) dan (1, 0) sehingga persamaannya
6x + y = 6 ………………. (1)
Garis h melalui dua titik yakni (0, 4) dan (2, 0) sehingga persamaannya
4x + 2y = 8
2x + y = 4 ………………. (2)
Titik-titik uji yaitu A, B, dan C. Sehingga
Titik A koordinatnya yaitu A(0, 6)
Titik C koordinatnya yaitu C(2, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
alasannya 2x + y = 4 maka 2(1/2) + y = 4, sehingga 1 + y = 4 , y = 3
Makara koordinat titik B yaitu B(1/2, 3)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x, y) = 4x + 3y
A(0, 6) → f(A) = 4(0) + 3(6) = 18
B(1/2, 3) → f(B) = 4(1/2) + 3(3) = 11
C(2, 0) → f(C) = 4(2) + 3(0) = 8
Makara nilai minimum untuk fungsi ini, yaitu 8
03. Nilai maksimum dari kawasan yang diarsir pada gambar di samping untuk fungsi target f(x,y) = 4x + 10y yaitu ….
Garis g melalui dua titik (0, 4) dan (–2, 0) , yakni
4x + (–2)y = –8
2x – y = –4 ................................................. (1)
Garis h melalui dua titik (0, –2) dan (2, 0), yakni
(–2)x + 2y = –4
x – y = 2 ..................................................... (2)
Garis j melalui dua titik (0, 6) dan (6, 0), yakni
6x + 6y = 36
x + y = 6 ..................................................... (3)
Titik-titik uji yaitu A, B, C dan D. Sehingga
Titik A koordinatnya yaitu A(0, 4)
Titik D koordinatnya yaitu D(2, 0)
Titik B merupakan perpotongan garis g dan j, diperoleh :
alasannya x + y = 6 maka 3/2 + y = 6, sehingga y = 9/2
Makara koordinat titik B yaitu B(3/2, 9/2)
Titik C merupakan perpotongan garis h dan j, diperoleh :
alasannya x + y = 6 maka 4 + y = 6, sehingga y = 2
Makara koordinat titik C yaitu C(4, 2)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x,y) = 4x + 10y,
A(0, 4) → f(A) = 4(0) + 10(4) = 40
B(3/2, 9/2) → f(B) = 4(3/2) + 10(9/2) = 51
C(4, 2) → f(C) = 4(4) + 10(2) = 36
D(2, 0) → f(D) = 4(2) + 10(0) = 8
Makara nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 51