Menafsirkan Nilai Optimum Dalam Agenda Linier
Masalah dimulai dari soal kisah dan diakhiri dengan mendapat suatu nilai optimum fungsi objektif / fungsi sasaran. Fungsi objektif ini sanggup berbentuk funsi laba, pendapatan, biaya dan sebagainya. Sehingga untuk menuntaskan kegiatan linier lengkap, hendaknya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
(1) Menyusun model matematika yang terdiri dari hambatan (sistem pertidaksamaan linier) dan fungsi sasaran
(2) Melukis grafik tempat penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier tersebut serta memilih titik-titik ujinya
(3) Menentukan nilai optimum suatu fungsi target dengan cara mensubstitusikan titik-titik uji ke dalam fungsi sasaran
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola soal berikut ini
01. Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan
Jawab
Misalkan
x = banyaknya sepeda jenis A
y = banyaknya sepeda jenis B
maka sanggup disusun hambatan biaya dan waktu produksi sebagai berikut:
200000x + 100000y ≤ 1200000
20x + 30y ≤ 240
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
2x + y ≤ 12
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik A koordinatnya yakni A(0, 8)
Titik C koordinatnya yakni C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
alasannya yakni 2x + y = 12 maka 2x + 6 = 12, sehingga 2x = 6, jadi x = 3
Makara koordinat titik B yakni B(3, 6)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000
B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000
C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000
Makara hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan yakni Rp. 6.600.000
02. Seorang anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 500 perbutir dan tablet kedua Rp. 1.000 perbutir maka biar pengeluaran minimum banyak tablet pertama yang harus dibeli yakni …
Jawab
Misalkan x = banyaknya tablet jenis pertama
y = banyaknya tablet jenis kedua
maka sanggup disusun hambatan kebutuhan vitamin A dan vitamin B sebagai berikut:
Dari tabel di atas sanggup disusun kendala, yakni :
2x + 3y ≥ 12
2x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi pengeluaran f(x, y) = 500x + 1000y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik A koordinatnya yakni A(0, 8)
Titik C koordinatnya yakni C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 500x + 1000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 500(0) + 1000(8) = 8.000
B(3, 2) → f(B) = 500(3) + 1000(2) = 3.500
C(6, 0) → f(C) = 500(6) + 1000(0) = 3.000
Makara besarnya pengeluaran minimum Rp. 3.000 didapat bila dibeli 6 tablet pertama
03. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang sanggup menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia mempunyai modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh keuntungan perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B biar diperoleh keuntungan maksimum ?
Jawab
Misalkan
x = banyaknya minuman jenis A
y = banyaknya minuman jenis B
maka sanggup disusun hambatan modal dan kapasitas kios sebagai berikut:
x + y ≤ 500
2000x + 4000y ≤ 1.600.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 500
x + 2y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi keuntungan : f(x, y) = 800x + 600y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik A koordinatnya yakni A(0, 400)
Titik C koordinatnya yakni C(500, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
alasannya yakni x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200
Makara koordinat titik B yakni B(200, 300)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :
A(0, 400) → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000
B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000
C(500, 0) → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000
Makara keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh bila dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol
(1) Menyusun model matematika yang terdiri dari hambatan (sistem pertidaksamaan linier) dan fungsi sasaran
(2) Melukis grafik tempat penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier tersebut serta memilih titik-titik ujinya
(3) Menentukan nilai optimum suatu fungsi target dengan cara mensubstitusikan titik-titik uji ke dalam fungsi sasaran
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada pola soal berikut ini
01. Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan
Jawab
Misalkan
x = banyaknya sepeda jenis A
y = banyaknya sepeda jenis B
maka sanggup disusun hambatan biaya dan waktu produksi sebagai berikut:
200000x + 100000y ≤ 1200000
20x + 30y ≤ 240
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
2x + y ≤ 12
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik A koordinatnya yakni A(0, 8)
Titik C koordinatnya yakni C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
Makara koordinat titik B yakni B(3, 6)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000
B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000
C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000
Makara hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan yakni Rp. 6.600.000
02. Seorang anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 500 perbutir dan tablet kedua Rp. 1.000 perbutir maka biar pengeluaran minimum banyak tablet pertama yang harus dibeli yakni …
Jawab
Misalkan x = banyaknya tablet jenis pertama
y = banyaknya tablet jenis kedua
maka sanggup disusun hambatan kebutuhan vitamin A dan vitamin B sebagai berikut:
2x + 3y ≥ 12
2x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi pengeluaran f(x, y) = 500x + 1000y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik A koordinatnya yakni A(0, 8)
Titik C koordinatnya yakni C(6, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
alasannya yakni 2x + y = 8 maka 2x + 2 = 8, sehingga 2x = 6 , x =3
Makara koordinat titik B yakni B(3, 2)Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 500x + 1000y, sehingga diperoleh :
A(0, 8) → f(A) = 500(0) + 1000(8) = 8.000
B(3, 2) → f(B) = 500(3) + 1000(2) = 3.500
C(6, 0) → f(C) = 500(6) + 1000(0) = 3.000
Makara besarnya pengeluaran minimum Rp. 3.000 didapat bila dibeli 6 tablet pertama
03. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang sanggup menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia mempunyai modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh keuntungan perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B biar diperoleh keuntungan maksimum ?
Jawab
Misalkan
x = banyaknya minuman jenis A
y = banyaknya minuman jenis B
maka sanggup disusun hambatan modal dan kapasitas kios sebagai berikut:
x + y ≤ 500
2000x + 4000y ≤ 1.600.000
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 500
x + 2y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi keuntungan : f(x, y) = 800x + 600y
Selanjutnya akan dilukis grafik tempat penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Titik C koordinatnya yakni C(500, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
Makara koordinat titik B yakni B(200, 300)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :
A(0, 400) → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000
B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000
C(500, 0) → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000
Makara keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh bila dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol