Komposisi Fungsi
Kompoisi dari f dan g didefinisikan : (f o g)(x) = f [ g(x) ] dan (g o f)(x) = g [ f(x) ]
Jika digambarkan dalam diagram panah menjadi
Adapun klarifikasi wacana tata cara memilih hasil simpulan dari komposisi fungsi akan diuraikan pada pola soal berikut ini
01. Misalkan f = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} dan g = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}, maka tentukanlah :
(a) f o g (b) g o f
Jawab
(a) f o g = f [ g ]
= f [ (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) ]
= {(1, 2)→(2, 3), (2, 4)→(4, 2), (3, 1)→(1, 4), (4, 3)→(3, 1)}
= {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 1)}
(b) g o f = g [ f ]
= g [(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) ]
= {(1, 4)→(4, 3), (2, 3)→(3, 1), (3, 1)→(1, 2), (4, 2)→(2, 4)}
= {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}
02. Diketahui dua fungsi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x2 – 3x + 5. Tentukanlah hasil dari :
(a) (f o g)(x) (b) (g o f)(x)
Jawab
(a) (f o g)(x) = f [ g(x) ]
= f [x2 – 3x + 5]
= 2(x2 – 3x + 5) – 1
= 2x2 – 6x + 10 – 1
= 2x2 – 6x + 9
(b) (g o f)(x) = g [ f(x) ]
= g [2x – 1]
= (2x – 1)2 – 3(2x – 1) + 5
= 4x2 – 4x + 1 – 6x + 3 + 5
= 4x2 – 10x + 9
04. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukanlah hasil dari (f o f o f)(x)
Jawab
(f o f o f)(x) = f { f [ f(x) ] }
= f { f [ 2x + 3 ] }
= f { 2(2x + 3) + 3] }
= f { 4x + 6 + 3 }
= f { 4x + 9 }
= 2(4x + 9) + 3
= 8x + 18 + 3
= 8x + 21
05. Diketahui dua fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 dan g(x) = x2 + 3x –6. Tentukanlah nilai
(a) (f o g)(2) (b) (g o f)(3)
Jawab
(a) (f o g)(2) = f [ g(2) ]
= f [(2)2 + 3(2) – 6]
= f [4 + 6 – 6]
= f [4]
= (4)2 – 5(4) + 4
= 16 – 20 + 4
= 0
(b) (g o f)(3) = g [ f(3) ]
= g [(3)2 – 5(3) + 4]
= g [9 – 15 + 4]
= g [–2]
= (–2)2 + 3(–2) – 6
= 4 – 6 – 6
= –8
Dari uraian di atas sanggup ditentukan beberapa sifat komposisi fungsi, yakni
(1) Komposisi fungsi tidak komutatif, artinya : g o f ≠ f o g
(2) Komposisi fungsi bersifat asosiatif, artinya : f o [ g o h ] = [ f o g ] o h
Selanjutnya, kita sanggup memilih komponen fungsi komposisi bila hasil simpulan komposisinya diketahui. Untuk klarifikasi selengkapnya akan diuraikan pada pola soal berikut ini :
06. Diketahui f(x) = 2x2 – 4x + 5 maka tentukanlah f(x + 3)
Jawab
f(x) = 2x2 – 4x + 5
maka f(x + 3) = 2(x + 3)2 – 4(x + 3) + 5
f(x + 3) = 2(x2 + 6x + 9) – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x2 + 12x + 18 – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x2 + 8x + 11
07. Diketahui f(x – 2) = x2 + 5x – 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(x – 2) = x2 + 5x – 3
Misalkan x – 2 = m maka x = m + 2
sehingga f(m) = (m + 2)2 + 5(m + 2) – 3
f(m) = m2 + 4m + 4 + 5m + 10 – 3
f(m) = m2 + 9m + 11
Makara f(x) = x2 + 9x + 11
08. Diketahui f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5
09. Diketahui (f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3 dan h(x) = x + 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3
f [ h(x) ] = 2x2 – 4x – 3
f [x + 3] = 2x2 – 4x – 3
Karena x + 3 = h maka x = h – 3
sehingga f(h) = 2(h – 3)2 – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2(h2 – 6h + 9) – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2h2 – 12h + 18 – 4h + 12 – 3
f(h) = 2h2 – 16h + 27
Makara f(x) = 2x2 – 16x + 27
10. Diketahui (f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5 dan f(x) = 2x – 1 maka tentukanlah h(x)
Jawab
(f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5
f [ h(x) ] = 4x2 + 6x – 5
2.h(x) – 1 = 2x2 – 4x – 3
2.h(x) = 2x2 – 4x – 3 + 1
2.h(x) = 2x2 – 4x – 2
h(x) = x2 – 2x – 1
12. Diketahui (f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7 dan g(x) = x2 – 3x + 4 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7
f [ g(x) ] = 2x2 – 6x + 7
f (x2 – 3x + 4) = 2x2 – 6x + 7
Misalkan m = x2 – 3x + 4 maka 2m = 2x2 – 6x + 8
2m – 1 = 2x2 – 6x + 8 – 1
2m – 1 = 2x2 – 6x + 7
sehingga f(m) = 2m – 1
Makara f(x) = 2x – 1
13. Diketahui (f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18 dan g(x) = x2 + 3x + 5, maka tentukanlah fungsi f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18
f [ g(x) ] = 4x2 – 12x + 18
f (x2 + 3x + 5) = 4x2 – 12x + 18
Misalkan m = x2 + 3x + 5 maka 4m = 4x2 + 12x + 20
4m – 2 = 2x2 – 6x + 20 – 2
4m – 2 = 2x2 – 6x + 18
sehingga f(m) = 4m – 2
Makara f(x) = 4x – 2
Jika digambarkan dalam diagram panah menjadi
Adapun klarifikasi wacana tata cara memilih hasil simpulan dari komposisi fungsi akan diuraikan pada pola soal berikut ini
01. Misalkan f = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} dan g = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}, maka tentukanlah :
(a) f o g (b) g o f
Jawab
(a) f o g = f [ g ]
= f [ (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) ]
= {(1, 2)→(2, 3), (2, 4)→(4, 2), (3, 1)→(1, 4), (4, 3)→(3, 1)}
= {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 1)}
(b) g o f = g [ f ]
= g [(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) ]
= {(1, 4)→(4, 3), (2, 3)→(3, 1), (3, 1)→(1, 2), (4, 2)→(2, 4)}
= {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}
02. Diketahui dua fungsi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x2 – 3x + 5. Tentukanlah hasil dari :
(a) (f o g)(x) (b) (g o f)(x)
Jawab
(a) (f o g)(x) = f [ g(x) ]
= f [x2 – 3x + 5]
= 2(x2 – 3x + 5) – 1
= 2x2 – 6x + 10 – 1
= 2x2 – 6x + 9
(b) (g o f)(x) = g [ f(x) ]
= g [2x – 1]
= (2x – 1)2 – 3(2x – 1) + 5
= 4x2 – 4x + 1 – 6x + 3 + 5
= 4x2 – 10x + 9
04. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukanlah hasil dari (f o f o f)(x)
Jawab
(f o f o f)(x) = f { f [ f(x) ] }
= f { f [ 2x + 3 ] }
= f { 2(2x + 3) + 3] }
= f { 4x + 6 + 3 }
= f { 4x + 9 }
= 2(4x + 9) + 3
= 8x + 18 + 3
= 8x + 21
05. Diketahui dua fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 dan g(x) = x2 + 3x –6. Tentukanlah nilai
(a) (f o g)(2) (b) (g o f)(3)
Jawab
(a) (f o g)(2) = f [ g(2) ]
= f [(2)2 + 3(2) – 6]
= f [4 + 6 – 6]
= f [4]
= (4)2 – 5(4) + 4
= 16 – 20 + 4
= 0
(b) (g o f)(3) = g [ f(3) ]
= g [(3)2 – 5(3) + 4]
= g [9 – 15 + 4]
= g [–2]
= (–2)2 + 3(–2) – 6
= 4 – 6 – 6
= –8
Dari uraian di atas sanggup ditentukan beberapa sifat komposisi fungsi, yakni
(1) Komposisi fungsi tidak komutatif, artinya : g o f ≠ f o g
(2) Komposisi fungsi bersifat asosiatif, artinya : f o [ g o h ] = [ f o g ] o h
Selanjutnya, kita sanggup memilih komponen fungsi komposisi bila hasil simpulan komposisinya diketahui. Untuk klarifikasi selengkapnya akan diuraikan pada pola soal berikut ini :
06. Diketahui f(x) = 2x2 – 4x + 5 maka tentukanlah f(x + 3)
Jawab
f(x) = 2x2 – 4x + 5
maka f(x + 3) = 2(x + 3)2 – 4(x + 3) + 5
f(x + 3) = 2(x2 + 6x + 9) – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x2 + 12x + 18 – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x2 + 8x + 11
07. Diketahui f(x – 2) = x2 + 5x – 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(x – 2) = x2 + 5x – 3
Misalkan x – 2 = m maka x = m + 2
sehingga f(m) = (m + 2)2 + 5(m + 2) – 3
f(m) = m2 + 4m + 4 + 5m + 10 – 3
f(m) = m2 + 9m + 11
Makara f(x) = x2 + 9x + 11
08. Diketahui f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(2x + 3) = 4x2 – 8x + 5
09. Diketahui (f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3 dan h(x) = x + 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o h)(x) = 2x2 – 4x – 3
f [ h(x) ] = 2x2 – 4x – 3
f [x + 3] = 2x2 – 4x – 3
Karena x + 3 = h maka x = h – 3
sehingga f(h) = 2(h – 3)2 – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2(h2 – 6h + 9) – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2h2 – 12h + 18 – 4h + 12 – 3
f(h) = 2h2 – 16h + 27
Makara f(x) = 2x2 – 16x + 27
10. Diketahui (f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5 dan f(x) = 2x – 1 maka tentukanlah h(x)
Jawab
(f o h)(x) = 4x2 + 6x – 5
f [ h(x) ] = 4x2 + 6x – 5
2.h(x) – 1 = 2x2 – 4x – 3
2.h(x) = 2x2 – 4x – 3 + 1
2.h(x) = 2x2 – 4x – 2
h(x) = x2 – 2x – 1
12. Diketahui (f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7 dan g(x) = x2 – 3x + 4 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 2x2 – 6x + 7
f [ g(x) ] = 2x2 – 6x + 7
f (x2 – 3x + 4) = 2x2 – 6x + 7
Misalkan m = x2 – 3x + 4 maka 2m = 2x2 – 6x + 8
2m – 1 = 2x2 – 6x + 8 – 1
2m – 1 = 2x2 – 6x + 7
sehingga f(m) = 2m – 1
Makara f(x) = 2x – 1
13. Diketahui (f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18 dan g(x) = x2 + 3x + 5, maka tentukanlah fungsi f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 4x2 – 12x + 18
f [ g(x) ] = 4x2 – 12x + 18
f (x2 + 3x + 5) = 4x2 – 12x + 18
Misalkan m = x2 + 3x + 5 maka 4m = 4x2 + 12x + 20
4m – 2 = 2x2 – 6x + 20 – 2
4m – 2 = 2x2 – 6x + 18
sehingga f(m) = 4m – 2
Makara f(x) = 4x – 2