Teorema Sisa
Disamping memakai metoda bersusun dan sketsa Horner, sisa pembagian polinom sanggup juga dicari dengan teorema sisa. Secara umum teorema sisa diambil dari teorema umum pembagian, yakni:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Namun secara khusus teorema sisa dibagi atas beberapa serpihan sesuai dengan karasteristik pembaginya, yaitu :
1. Jika polinom f(x) dibagi oleh (x – k) akan mendapat hasil bagi H(x) dan sisa s , maka berlaku hubungan:
f(x) = (x – k) H(x) + s
Untuk k = 0 maka f(k) = (k – k)H(k) + s
sehingga sisa = s = f(k)
2. Jika polinom f(x) dibagi oleh ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) akan mendapat hasil bagi H(x) dan sisa S(x) maka berlaku korelasi :
f(x) = (x – x1)(x – x2) H(x) + S(x)
Misalkan S(x) = mx + n, maka
f(x1) = (x1 – x1)( x1 – x2) H(x1) + mx1 + n sehingga f(x1) = mx1 + n …………… (1)
f(x2) = (x2 – x1)( x2 – x2) H(x2) + mx2 + n sehingga f(x2) = mx2 + n …………… (2)
Jika (1) dan (2) dieliminasi, akan diperoleh nilai m dan n, sehingga S(x) sanggup dicari
Kalau proses ini diteruskan, maka akan diperoleh pula sisa pembagian untuk pembagi ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3). Tentu saja proses ini memakai eliminasi tiga variable dengan tiga persamaan. Namun dalam serpihan ini akan dibahas hanya hingga pembagi berderajat 2
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada teladan berikut ini
01. Tentukanlah sisa dari pembagian polinom (x3 – 5x2 + 4x + 8) : ( x – 3) dengan memakai teorema sisa
Jawab
Misalkan F(x) = x3 – 5x2 + 4x + 8 maka pembagian F(x) dengan (x – 3) mendapat sisa F(3)
Kaprikornus : Sisa = (3)3 – 5(3)2 + 4(3) + 8
= 27 – 45 + 12 + 8
= 2
02. Tentukanlah sisa dari pembagian polinom (x3 + 2x2 – 2x + 6) : (x2 – 2x – 3) dengan memakai teorema sisa
Jawab
03. Jika polinom F(x) dibagi (x – 4) maka sisanya 12. Dan kalau F(x) dibagi dengan (x + 3) maka sisanya –2. Tentukan sisanya kalau polinom F(x) dibagi dengan (x2 – x – 12)
Jawab
04. Jika polinom F(x) dibagi (x + 5) maka sisanya 15. Dan kalau F(x) dibagi (x2 – 5x + 6) maka sisanya ialah 2x – 17. Tentukanlah sisanya kalau polinom F(x) dibagi dengan (x2 + 3x – 10)
Jawab
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Namun secara khusus teorema sisa dibagi atas beberapa serpihan sesuai dengan karasteristik pembaginya, yaitu :
1. Jika polinom f(x) dibagi oleh (x – k) akan mendapat hasil bagi H(x) dan sisa s , maka berlaku hubungan:
f(x) = (x – k) H(x) + s
Untuk k = 0 maka f(k) = (k – k)H(k) + s
sehingga sisa = s = f(k)
2. Jika polinom f(x) dibagi oleh ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) akan mendapat hasil bagi H(x) dan sisa S(x) maka berlaku korelasi :
f(x) = (x – x1)(x – x2) H(x) + S(x)
Misalkan S(x) = mx + n, maka
f(x1) = (x1 – x1)( x1 – x2) H(x1) + mx1 + n sehingga f(x1) = mx1 + n …………… (1)
f(x2) = (x2 – x1)( x2 – x2) H(x2) + mx2 + n sehingga f(x2) = mx2 + n …………… (2)
Jika (1) dan (2) dieliminasi, akan diperoleh nilai m dan n, sehingga S(x) sanggup dicari
Kalau proses ini diteruskan, maka akan diperoleh pula sisa pembagian untuk pembagi ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3). Tentu saja proses ini memakai eliminasi tiga variable dengan tiga persamaan. Namun dalam serpihan ini akan dibahas hanya hingga pembagi berderajat 2
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada teladan berikut ini
01. Tentukanlah sisa dari pembagian polinom (x3 – 5x2 + 4x + 8) : ( x – 3) dengan memakai teorema sisa
Jawab
Misalkan F(x) = x3 – 5x2 + 4x + 8 maka pembagian F(x) dengan (x – 3) mendapat sisa F(3)
Kaprikornus : Sisa = (3)3 – 5(3)2 + 4(3) + 8
= 27 – 45 + 12 + 8
= 2
02. Tentukanlah sisa dari pembagian polinom (x3 + 2x2 – 2x + 6) : (x2 – 2x – 3) dengan memakai teorema sisa
Jawab
03. Jika polinom F(x) dibagi (x – 4) maka sisanya 12. Dan kalau F(x) dibagi dengan (x + 3) maka sisanya –2. Tentukan sisanya kalau polinom F(x) dibagi dengan (x2 – x – 12)
Jawab
04. Jika polinom F(x) dibagi (x + 5) maka sisanya 15. Dan kalau F(x) dibagi (x2 – 5x + 6) maka sisanya ialah 2x – 17. Tentukanlah sisanya kalau polinom F(x) dibagi dengan (x2 + 3x – 10)
Jawab
