Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
1. Diskriminan
Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara memilih akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu:
Dari rumus diatas terlihat bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi dari nilai b2 – 4ac. Jika nilai ini negatif tentu saja akar-akarnya tidak sanggup ditentukan (imajiner) dan bila nilai ini berbenentuk bilangan kuadrat maka akar-akarnya akan rasional, dan seterusnya
Nilai b2 – 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat sanggup dibagi menjadi tiga macam, yaitu :
D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan
Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional
D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama
D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata)
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
(a). 2x2 – 7x + 6 = 0
(b) x2 – 6x + 12 = 0
(c) x2 – 4x + 1 = 0
Jawab
(a). 2x2 – 7x + 6 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–7)2 – 4(2)(6)
D = 49 – 48
D = 1
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan
(b). x2 – 6x + 12 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–6)2 – 4(1)(12)
D = 36 – 48
D = –12
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas imajiner (tidak nyata)
(c). x2 – 4x – 1 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–4)2 – 4(1)( –1)
D = 16 + 4
D = 20
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan
02. Tentukanlah nilai p supaya persamaan kuadrat berikut ini mempunyai akar yang sama
(a) x2 – px + 16 = 0
(b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0
Jawab
(a) x2 – px + 16 = 0
Syarat : D = 0
b2 – 4ac = 0
(–p)2 – 4(1)(16) = 0
p2 – 64 = 0
(p – 8)(p + 8) = 0
Kaprikornus nilai p = 8 atau p = –8
(b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0
Syarat : D = 0
b2 – 4ac = 0
(–4)2 – 4(p + 3)(p) = 0
16 – 4p2 – 12p = 0
–4p2 – 12p + 16 = 0
p2 + 3p – 4 = 0
(p + 4)(p – 1) = 0
Kaprikornus nilai p = –4 atau p = 1
03. Tentukanlah batas-batas nilai m supaya persamaan kuadrat berikut ini tidak mempunyai akar yang nyata
(a) x2 – 3x – 3m = 0
(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0
Jawab
(a) x2 – 3x – 3m = 0
Syarat : D < 0
b2 – 4ac < 0
(–3)2 – 4(1)(–3m) < 0
9 + 12m < 0
12m < –9
m < –9/12
m < –3/4
(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0
Syarat : D < 0
b2 – 4ac < 0
(2m)2 – 4(m + 1)(m – 2) < 0
4m2 – 4(m2 – m – 2) < 0
4m2 – 4m2 – 4m – 8 < 0
–4m – 8 < 0
–4m < 8
m > –2
2. Hasil penjumlahan, pengurangan, dan hasil kali akar-akar persamaan Kuadrat
Suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 , dimana x1 > x2 , maka berlaku:
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 – 3x + 6 = 0 maka tentukanlah nilai
02 Jika salah satu akar dari persamaan x2 – 10x + (k + 3) = 0 ialah empat kali akar yang lain, maka tentukanlah nilai k
Jawab
3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Persamaan kuadrat sanggup disusun dengan memakai perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, dan misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ialah ( x1 + x2 ) dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat sanggup dibuat dengan formula sebagai berikut
x2 − ( x1 + x2)x + (x1 . x2 ) = 0
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4
Jawab
x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0
x2 − (–3 + 4)x + (–3)(4) = 0
x2 − x – 12 = 0
02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 – √5 dan 3 + √5
Jawab
03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x2 + 5x – 2 = 0
Jawab
Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara memilih akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu:
Nilai b2 – 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat sanggup dibagi menjadi tiga macam, yaitu :
D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan
Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional
D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama
D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata)
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
(a). 2x2 – 7x + 6 = 0
(b) x2 – 6x + 12 = 0
(c) x2 – 4x + 1 = 0
Jawab
(a). 2x2 – 7x + 6 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–7)2 – 4(2)(6)
D = 49 – 48
D = 1
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan
(b). x2 – 6x + 12 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–6)2 – 4(1)(12)
D = 36 – 48
D = –12
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas imajiner (tidak nyata)
(c). x2 – 4x – 1 = 0
Uji : D = b2 – 4ac
D = (–4)2 – 4(1)( –1)
D = 16 + 4
D = 20
Kaprikornus akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan
02. Tentukanlah nilai p supaya persamaan kuadrat berikut ini mempunyai akar yang sama
(a) x2 – px + 16 = 0
(b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0
Jawab
(a) x2 – px + 16 = 0
Syarat : D = 0
b2 – 4ac = 0
(–p)2 – 4(1)(16) = 0
p2 – 64 = 0
(p – 8)(p + 8) = 0
Kaprikornus nilai p = 8 atau p = –8
(b) (p + 3)x2 – 4x + p = 0
Syarat : D = 0
b2 – 4ac = 0
(–4)2 – 4(p + 3)(p) = 0
16 – 4p2 – 12p = 0
–4p2 – 12p + 16 = 0
p2 + 3p – 4 = 0
(p + 4)(p – 1) = 0
Kaprikornus nilai p = –4 atau p = 1
03. Tentukanlah batas-batas nilai m supaya persamaan kuadrat berikut ini tidak mempunyai akar yang nyata
(a) x2 – 3x – 3m = 0
(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0
Jawab
(a) x2 – 3x – 3m = 0
Syarat : D < 0
b2 – 4ac < 0
(–3)2 – 4(1)(–3m) < 0
9 + 12m < 0
12m < –9
m < –9/12
m < –3/4
(b) (m + 1)x2 + 2mx + (m – 2) = 0
Syarat : D < 0
b2 – 4ac < 0
(2m)2 – 4(m + 1)(m – 2) < 0
4m2 – 4(m2 – m – 2) < 0
4m2 – 4m2 – 4m – 8 < 0
–4m – 8 < 0
–4m < 8
m > –2
2. Hasil penjumlahan, pengurangan, dan hasil kali akar-akar persamaan Kuadrat
Suatu persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 , dimana x1 > x2 , maka berlaku:
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 – 3x + 6 = 0 maka tentukanlah nilai
02 Jika salah satu akar dari persamaan x2 – 10x + (k + 3) = 0 ialah empat kali akar yang lain, maka tentukanlah nilai k
Jawab
3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Persamaan kuadrat sanggup disusun dengan memakai perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, dan misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ialah ( x1 + x2 ) dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat sanggup dibuat dengan formula sebagai berikut
x2 − ( x1 + x2)x + (x1 . x2 ) = 0
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4
Jawab
x2 − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0
x2 − (–3 + 4)x + (–3)(4) = 0
x2 − x – 12 = 0
02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 – √5 dan 3 + √5
Jawab
03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x2 + 5x – 2 = 0
Jawab
