Rumus Trigonometri Sudut Ganda Dan Sudut Tengahan
A. Rumus Sudut Ganda
Yang dimaksud dengan sudut ganda yaitu sudut 2α. Untuk mendapat rumus trigonometri untuk sin 2α, cos 2α dan tan 2α, diperoleh dari rumus-rumus sebelumnya, yakni:
sin 2α = 2.sin α.cos α
cos 2α = cos2α − sin2α atau cos 2α = 1 – 2.sin2α atau cos 2α = 2.cos2α − 1
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
01. Tentukanlah nilai dari :
(a) 4 . cos2 67,5o − 4 . sin2 67,5o + 6√2
(b) 12√3 cos2 15o − 6√3
Jawab
02. Jika tan α = ½√3 dan α sudut lancip, maka tentukanlah nilai sin 2α
03. Buktikanlah bahwa
jawab
05. Jika α sudut lancip yang memenuhi 2.cos2 α = 1 + 2.sin 2α , maka tentukanlah nilai tan 4α
Jawab
B. Rumus Sudut Tengahan
Yang dimaksud dengan sudut tengahan yaitu sudut ½α. Untuk mendapat rumus trigonometri untuk sin ½α, cos ½α dan tan ½α, diperoleh dari rumus-rumus sebagai barikut:
atau
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
06. Tentukanlah nilai dari :
(a) cos 112,5o
(b) tan 22,5o
Jawab
07. Jika cos α = 7/25 dan 270o < α < 360o maka tentukanlah nilai tan ½ α = …
Dari uraian di atas sanggup pula diturunkan Rumus trigonometri untuk Sudut Yang Lain, yakni :
sin 3α = sin (2α + α)
= sin2 α.cosα + cos2α.sinα
= (2sinα.cosα).cosα + (1 – 2.sin2α).sinα
= 2.sinα.cos2 α + sinα – 2.sin3α
= 2.sinα.(1 – sin2α) + sinα – 2.sin3α
= 2.sinα – 2sin3α + sinα – 2.sin3α
= −4.sin3α + 3.sin α
cos 3α = cos (2α + α)
= cos2α.cosα – sin2α.sinα
= (2cos2α – 1)cosα – 2.sinα.cosα.sinα
= 2.cos3α – cosα – 2.sin2α.cosα
= 2.cos3α – cosα – 2.(1 – cos2α)cosα
= 2.cos3α – cosα – 2.cosα + 2cos3α
= 4.cos3α − 3.cos α
Selain dua rumus di atas, dengan cara yang sama sanggup juga diturunkan rumus-rumus yang lain
Yang dimaksud dengan sudut ganda yaitu sudut 2α. Untuk mendapat rumus trigonometri untuk sin 2α, cos 2α dan tan 2α, diperoleh dari rumus-rumus sebelumnya, yakni:
sin 2α = 2.sin α.cos α
cos 2α = cos2α − sin2α atau cos 2α = 1 – 2.sin2α atau cos 2α = 2.cos2α − 1
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
01. Tentukanlah nilai dari :
(a) 4 . cos2 67,5o − 4 . sin2 67,5o + 6√2
(b) 12√3 cos2 15o − 6√3
Jawab
02. Jika tan α = ½√3 dan α sudut lancip, maka tentukanlah nilai sin 2α
03. Buktikanlah bahwa
jawab
05. Jika α sudut lancip yang memenuhi 2.cos2 α = 1 + 2.sin 2α , maka tentukanlah nilai tan 4α
Jawab
B. Rumus Sudut Tengahan
Yang dimaksud dengan sudut tengahan yaitu sudut ½α. Untuk mendapat rumus trigonometri untuk sin ½α, cos ½α dan tan ½α, diperoleh dari rumus-rumus sebagai barikut:
atau
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah rujukan soal berikut ini:
06. Tentukanlah nilai dari :
(a) cos 112,5o
(b) tan 22,5o
Jawab
07. Jika cos α = 7/25 dan 270o < α < 360o maka tentukanlah nilai tan ½ α = …
Dari uraian di atas sanggup pula diturunkan Rumus trigonometri untuk Sudut Yang Lain, yakni :
sin 3α = sin (2α + α)
= sin2 α.cosα + cos2α.sinα
= (2sinα.cosα).cosα + (1 – 2.sin2α).sinα
= 2.sinα.cos2 α + sinα – 2.sin3α
= 2.sinα.(1 – sin2α) + sinα – 2.sin3α
= 2.sinα – 2sin3α + sinα – 2.sin3α
= −4.sin3α + 3.sin α
cos 3α = cos (2α + α)
= cos2α.cosα – sin2α.sinα
= (2cos2α – 1)cosα – 2.sinα.cosα.sinα
= 2.cos3α – cosα – 2.sin2α.cosα
= 2.cos3α – cosα – 2.(1 – cos2α)cosα
= 2.cos3α – cosα – 2.cosα + 2cos3α
= 4.cos3α − 3.cos α
Selain dua rumus di atas, dengan cara yang sama sanggup juga diturunkan rumus-rumus yang lain