Bangun-Bangun Pada Geometri Bidang
Sebelum lebih jauh membahas bangun-bangun pada geometri bidang, akan diuraikan dulu pengertian titik, garis dan bidang dalam konsep geometri.
Titik sanggup dibayangkan ibarat bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol. Titik dinyatakan dengan satu karakter besar (misalnya A, B, C dan sebagainya), dan sebab tidak mempunyai ukuran maka titik dikatakan berdimensi nol.
Garis sanggup dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus memanjang ke dua arah. Garis dinotasikan dengan karakter non-kapital (misalnya g, h, l dan sebagainya). Bidang sanggup dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tampa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas.
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa definisi yang berafiliasi dengan titik, garis dan bidang, yakni:
1. Ruas garis (segmen).
Ruas garis AB merupakan himpunan titik A, B dan semua titik diantara A dan B yang kolinier dengan garis melalui kedua titik tersebut.
2. Sinar (Ray).
Sinar AB merupakan himpunan semua titik pada ruas garis AB dan semua titik X yang segaris dengan A dan B sedemikian sampai B terletak diantara A dan X. Selanjutnya A dinamakan sebagai titik pangkal.
3. Sudut.
Sudut yakni campuran dua sinar yang bersekutu dititik pangkalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik pangkal komplotan dinamakan sebagai titik sudut..
Setelah mengetahui konsep-konsep dasar dalam geometri, berikut akan diuraikan konsep berdiri geometri pada bidang.
Pada geometri bidang, berdiri segibanyak (poligon ) merupakan berdiri datar tertutup yang sisi-sisinya berupa ruas garis, dan setiap ruas garis hanya berpotongan pada ujung-ujungnya.,
Pada ilustrasi di atas, gambar 1, 2, 3 dan 4 merupakan poligon. Gambar 1 dan 2 disebut poligon konveks. Suatu berdiri geometri dikatakan konveks jikalau setiap mengambil dua titik didalam poligon, maka seluruh ruas garis yang menghubungkannya berada di dalam berdiri tersebut. Sementara itu gambar 3 dan 4 merupakan poligon konkaf. Dikatakan konkaf jikalau ada dua titik di dalam bangun, yang jikalau dihubungkan, maka terdapat pecahan ruas garis yang berada di luar bangun. Gambar 5 dan 6 bukan poligon sebab mempunyai sisi yang bukan ruas garis.
Pada pecahan ini akan diuraikan lebih lanjut beberapa berdiri dalam geometri bidang, yakni segi tiga, segi empat dan lingkaran
1. Segi tiga.
Segitiga yakni polygon dengan tiga sisi (dilambangkan dengan Δ ) dan merupakan campuran tiga ruas garis yang ujung-ujungnya ditentukan oleh tiga titik tidak segaris. Ruas-ruas garis tersebut dinamakan sebagai sisi, sedangkan ketiga ujungnya dinamakan sebagai titik sudut.
Ketiga sisi pada segitiga tersebut harus memenuhi syarat ketaksamaan segitiga, yakni: Jika a, b dan c yakni sisi-sisi pada segitiga ABC, maka haruslah berlaku: a + b > c dan a + c > b dan b + c > a.
Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3 jenis, yaitu :
(1) Segitiga lancip, yakni segitiga yang semua sudutnya kurang dari 90o
(2) Segitiga siku-siku yakni segitiga yang salah satu sudutnya 90o
(3) Segitiga tumpul yakni segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90o.
Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi :
(1) segitiga samakaki yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(2) segitiga samasisi yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(3) Segitiga sembarang, yakni segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang.
Dapat juga dikatakan, dua segitiga kongruen jikalau keenam unsur segitiga pertama kongruen dengan enam unsur yang bersesuaian pada segitiga yang kedua
Beberapa dalil dalam segitiga sanggup diuraikan sebagai berikut :
Dalil 1
Dua segitiga kongruen jikalau ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang
Contoh untuk dalil ini adalah:
Pada gambar berikut, AB dan CD saling membagi dua sama panjang di titik M. Jika AC = DB buktikan bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Bukti:
Diketahui AB dan CD saling membagi dua sama panjang di M maka AM = BM dan CM = DM. Sementara itu diketahui bahwa AC = BD. Dengan demikian
berdasarkan postulat I kekongruenan, sebab ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka terbukti bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Dalil 2.
Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga sama dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen
Contoh untuk dalil ini yakni pada segitiga ABC disamping, dimana BM tegak lurus AC, dan M titik tengah AC. Maka ΔAMB ≅ ΔCMB
Bukti pola ini adalah:
Diketahui M titik tengah AC, sehingga AM = CM dan AC tegak lurus BM. sehingga <AMB = <CMB = 90o.
Perhatikan segitiga AMB dan CMB, sisi MB dipakai pada kedua segitiga, sehingga MB = MB. Dari kedua segitiga di atas dipenuhi AM = CM, <AMB = <CMB , MB = MB sehingga, berdasarkan dalil kekongruenan diatas terbukti bahwa ΔAMB ≅ ΔCMB
Dalil 3.
Jika dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga sama dengan dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Contoh untuk dalil ini yakni pada gambar segitiga ABC dan segitiga PQR diatas, dimana <A = <P, <C = <Q dan sisi AC = PQ maka berdasarkan dalil diatas berlaku ΔABC ≅ ΔPQR
Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (dilambangkan ΔABC ΔPQR), jikalau ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : <A = <P, <B = <Q dan <C = <R. Sehingga ΔABC ΔPQR
Suatu konsep yang berkaitan erat dengan kesebangunan yakni proporsi. Sifat proporsional pada segitiga ditunjukkan dengan dalil berikut ini.
Dalil 4.
Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.
Pada sebuah segitiga ABC, ditarik garis PQ sejajar AC. Jika garis PQ membagi BA dan BC sehingga panjang ruas garis yang bersesuaian pada setiap sisi mempunyai perbandingan yang sama, yakni :
Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai berikut :
a. Garis sumbu suatu segitiga
Garis sumbu segitiga merupakan garis bagi tegak lurus setiap sisi segitiga tersebut.
Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik.
b. Garis tinggi suatu segitiga
Garis tinggi suatu segitiga merupakan garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut. Karena segitiga mempunyai tiga titik sudut yang sanggup dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah.
Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter.
c. Garis berat suatu segitiga
Garis berat yakni garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di depannya. Karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan sentra kesetimbangan segitiga.
Jika sebuah segitiga digantungkan sempurna pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.
d. Garis bagi sudut suatu segitiga
Garis bagi sudut segitiga yakni garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga sehingga menjadi dua pecahan yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini merupakan titik sentra bundar dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung semua sisinya).
Berikut ini akan diberikan beberapa pola soal yang berkaitan dengan segi-tiga dan segi-empat yakni sebagai berikut:
2. Segi-empat
segiempat sanggup didefinisikan sebagai poligon dengan empat sisi. Ada terdapat beberapa macam segi-empat, yakni sebagai berikut:
a. Jajar genjang (parallelogram)
Jajar genjang merupakan segi empat yang dua pasang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Segi empat ABCD di samping merupakan jajar genjang sebab AB sejajar DC dan AD sejajar BC
Pada jajar genjang ABCD, jikalau sisi AB dianggap sebagai alas, maka tinggi jajar genjang yakni DP, yakni jarak suatu titik pada sisi AB ke garis yang memuat sisi DC. Seperti halnya dalam segitiga, tinggi suatu jajar genjang tidak selalu harus dalam posisi vertikal.
Jajar genjang mempunyai sifat-sifat:
1) Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga kongruen.
2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.
4). Sudut-sudut yang berdekatan saling berpelurus
5). Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
6) Luas jajar genjang dirumuskan : L = ganjal x tinggi
b. Persegi panjang
Persegi panjang yakni jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
Berikut sifat-sifat persegi panjang:
1) Karena persegi panjang merupakan jajar genjang, maka semua sifat jajar genjang dimiliki oleh persegi panjang.
2) Keempat sudutnya sama besar (equiangular) dan berupa sudut siku-siku.
3) Diagonal persegi panjang sama panjang.
4) Luas persegi panjang dirumuskan :
Luas = panjang x lebar = AB x AD
c. Belah ketupat (rhombus)
Belah ketupat merupakan jajar genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena belah ketupat merupakan jajar genjang, maka semua sifat jajar genjang menjadi sifat belah ketupat.
Berikut ini beberapa sifat khusus belah ketupat.
1) Belah ketupat mempunyai semua sifat jajar genjang.
2) Semua sisi belah ketupat mempunyai panjang yang sama (equilateral).
3) Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
4) Diagonal-diagonal belah ketupat membagi dua sama besar sudut belah ketupat.
5) Luas belah ketupat dirumuskan :
L = ganjal x tinggi = AB x PD atau
L = ½ (diagonal1 x diagonal2) = ½ (AC x BD)
d. Persegi (square)
Persegi merupakan persegi panjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena persegi merupakan kasus khusus dari persegi panjang dan persegi panjang merupakan kasus khusus dari jajar genjang maka persegi mempunyai semua sifat persegi panjang dan sekaligus mempunyai semua sifat jajar genjang.
Karena persegi mempunyai dua sisi berdekatan yang sama panjang, maka persegi merupakan belah ketupat sehingga semua sifat belah ketupat juga dimiliki oleh persegi.
Persegi mempunyai semua sifat jajargenjang, persegi panjang, dan belah ketupat.
e. Trapesium (trapezoid/trapezium)
trapesium merupakan segi empat yang mempunyai sempurna sepasang sisi yang sejajar.
Jika AB sejajar CD dan AD tidak sejajar BC, maka segi empat ABCD merupakan trapesium.
Sisi AB dan CD disebut sisi-sisi sejajar atau sering juga disebut sisi ganjal (bases). Pasangan sisi yang tidak sejajar AD dan BC dinamakan kaki-kaki trapesium. Pasangan sudut yang memakai satu sisi sejajar sebagai kaki sudut bersama dinamakan pasangan sudut alas.
Trapesium sama kaki yakni trapesium yang kaki-kakinya sama panjang (AD = BC)
Sifat-sifat trapesium:
1) Masing-masing pasangan sudut berdekatan di antara dua sisi sejajar suatu trapesium saling berpelurus.
2) Pasangan sudut ganjal suatu trapesium samakaki sama besar.
3) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki sama panjang.
4) Luas trapezium dirumuskan :
L = ½ (jumlah sisi-sisi sejajar x tinggi) = ½ (AB + DC)PD
g. Layang-layang (kite)
Layang-layang yakni segi empat konveks yang mempunyai dua pasang sisi berdekatan yang kongruen, pasangan sisi kongruen yang satu berbeda dengan pasangan sisi kongruen yang lain.
Pada layang-layang diatas, diagonal BD membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen. Diagonal AC membagi layang-layang menjadi dua segitiga samakaki yang tidak kongruen. <D dan <B yang dibuat oleh dua sisi yang kongruen dinamakan sebagai sudut puncak (vertex angles) sedangkan <A dan <C yakni sudut bukan puncak (non vertex angles).
Layang-layang mempunyai sifat:
1) Kedua sudut bukan puncak suatu layang-layang besarnya sama.
2) Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.
3) Salah satu diagonal merupakan garis bagi diagonal yang lain.
4) Sudut puncak suatu layang-layang dibagi dua sama besar oleh diagonal yang melalui titik puncak.
Berikut ini akan diberikan beberapa pola soal ihwal segi-empat
3. Lingkaran
Lingkaran merupakan kawasan yang dibatasi oleh titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut sebagai sentra lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada bundar ke sentra dinamakan jari-jari. Istilah jari-jari juga sanggup dipakai untuk menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan sentra bundar dengan titik pada lingkaran.
Pada gambar di atas, garis lengkung BCD disebut busur pendek atau busur kecil, sedangkan garis lengkung BFD disebut busur panjang atau busur besar. Selanjutnya jikalau disebutkan busur BD maka yang dimaksud yakni busur pendek. Tali busur merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Pada gambar, BF merupakan tali busur. Talibusur yang melalui sentra bundar dinamakan diameter.
Apotema suatu bundar merupakan ruas garis yang menghubungkan sentra bundar ke titik tengah tali busur. Istilah apotema sanggup dipakai untuk menyatakan panjangnya. Sebagai pola pada gambar di atas, ruas garis PQ, ataupun panjang PQ sanggup disebut sebagai apotema. Apotema tegak lurus tali busur BF yang bersesuaian.
Tembereng merupakan kawasan yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya. Juring bundar merupakan kawasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur. Perhatikan pada gambar di atas, pecahan DPE yang diarsir merupakan juring kecil , dan pecahan yang diarsir ABF merupakan tembereng lingkaran.
Untuk setiap bundar perbandingan dari keliling dan diameter selalu bernilai tetap yaitu mendekati 3,14. Nilai ini disebut sebagai Ï€ (dibaca “pi”). Sehingga berlaku :
maka diperoleh rumus Keliling bundar = 2 πr
Selanjutnya pada bundar berlaku pula perbandingan :
Luas bundar sanggup dirumuskan sebagai :
L = π r2
Dengan r yakni panjang jari-jari lingkaran.
Pada gambar di atas titik P yakni sentra lingkaran, dan titik A, B, C, D, dan E terletak pada lingkaran. <CPD disebut sebagai sudut sentra dan <BAE dinamakan sudut keliling.
Perhatikan gambar di atas, <BPC merupakan sudut pusat, dan <BAC merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur BC).
Panjang AP = BP = CP, sehingga ΔAPB dan ΔAPC sama kaki serta berlaku <BAP = <ABP dan <CAP = <ACP.
Karena jumlah sudut segitiga 1800 maka pada ΔAPB berlaku <BPA = 180o – 2<BAP dan ΔAPC berlaku <APC = 180o – 2<CAP .
Sehingga :
<BPC = 360o – <BPA – <APC
<BPC = 360o – (180o – 2<BAP) – (180o – 2<CAP)
<BPC = 2(<BAP + CAP)
<BPC = 2<BAC
Makara besar sudut sentra sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Dari sifat ini sanggup diturunkan sifat bahwa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, akan selalu sama besar.
Sebagai bukti akan diperlihatkan pada gambar berikut :
Pada gambar bundar di atas, berlaku :
<BPC = 2<BDC ………. (1)
<BPC = 2<BAC ………..(2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa
<BAC = <BDC
Garis singgung bundar yakni garis yang memotong bundar sempurna di satu titik..
Garis singgung ini tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgungnya.
Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh soal ihwal lingkaran, yakni sebagai berikut:
Titik sanggup dibayangkan ibarat bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol. Titik dinyatakan dengan satu karakter besar (misalnya A, B, C dan sebagainya), dan sebab tidak mempunyai ukuran maka titik dikatakan berdimensi nol.
Garis sanggup dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus memanjang ke dua arah. Garis dinotasikan dengan karakter non-kapital (misalnya g, h, l dan sebagainya). Bidang sanggup dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tampa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas.
Selanjutnya akan dijelaskan beberapa definisi yang berafiliasi dengan titik, garis dan bidang, yakni:
1. Ruas garis (segmen).
Ruas garis AB merupakan himpunan titik A, B dan semua titik diantara A dan B yang kolinier dengan garis melalui kedua titik tersebut.
Sinar AB merupakan himpunan semua titik pada ruas garis AB dan semua titik X yang segaris dengan A dan B sedemikian sampai B terletak diantara A dan X. Selanjutnya A dinamakan sebagai titik pangkal.
Sudut yakni campuran dua sinar yang bersekutu dititik pangkalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik pangkal komplotan dinamakan sebagai titik sudut..
Setelah mengetahui konsep-konsep dasar dalam geometri, berikut akan diuraikan konsep berdiri geometri pada bidang.
Pada geometri bidang, berdiri segibanyak (poligon ) merupakan berdiri datar tertutup yang sisi-sisinya berupa ruas garis, dan setiap ruas garis hanya berpotongan pada ujung-ujungnya.,
Pada pecahan ini akan diuraikan lebih lanjut beberapa berdiri dalam geometri bidang, yakni segi tiga, segi empat dan lingkaran
1. Segi tiga.
Segitiga yakni polygon dengan tiga sisi (dilambangkan dengan Δ ) dan merupakan campuran tiga ruas garis yang ujung-ujungnya ditentukan oleh tiga titik tidak segaris. Ruas-ruas garis tersebut dinamakan sebagai sisi, sedangkan ketiga ujungnya dinamakan sebagai titik sudut.
Ketiga sisi pada segitiga tersebut harus memenuhi syarat ketaksamaan segitiga, yakni: Jika a, b dan c yakni sisi-sisi pada segitiga ABC, maka haruslah berlaku: a + b > c dan a + c > b dan b + c > a.
Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dibagi menjadi 3 jenis, yaitu :
(1) Segitiga lancip, yakni segitiga yang semua sudutnya kurang dari 90o
(2) Segitiga siku-siku yakni segitiga yang salah satu sudutnya 90o
(3) Segitiga tumpul yakni segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 90o.
Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dibedakan menjadi :
(1) segitiga samakaki yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(2) segitiga samasisi yakni segitiga yang dua sisinya sama panjang
(3) Segitiga sembarang, yakni segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang.
Beberapa dalil dalam segitiga sanggup diuraikan sebagai berikut :
Dalil 1
Dua segitiga kongruen jikalau ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang
Contoh untuk dalil ini adalah:
Pada gambar berikut, AB dan CD saling membagi dua sama panjang di titik M. Jika AC = DB buktikan bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Bukti:
berdasarkan postulat I kekongruenan, sebab ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka terbukti bahwa ΔAMC ≅ ΔDMB
Dalil 2.
Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga sama dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen
Contoh untuk dalil ini yakni pada segitiga ABC disamping, dimana BM tegak lurus AC, dan M titik tengah AC. Maka ΔAMB ≅ ΔCMB
Bukti pola ini adalah:
Perhatikan segitiga AMB dan CMB, sisi MB dipakai pada kedua segitiga, sehingga MB = MB. Dari kedua segitiga di atas dipenuhi AM = CM, <AMB = <CMB , MB = MB sehingga, berdasarkan dalil kekongruenan diatas terbukti bahwa ΔAMB ≅ ΔCMB
Dalil 3.
Jika dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga sama dengan dua sudut dan satu sisi di antara dua sudut pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Dua segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun (dilambangkan ΔABC ΔPQR), jikalau ketiga sudut yang bersesuaian sama besar. Pada gambar dua segitiga dibawah ini berlaku : <A = <P, <B = <Q dan <C = <R. Sehingga ΔABC ΔPQR
Dalil 4.
Suatu garis yang sejajar salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisi yang lain membagi sisi-sisi tersebut secara proporsional.
Selanjutnya akan dijelaskan garis-garis istimewa dalam segitiga, yakni garis sumbu, garis tinggi, garis berat dan garis bagi yakni sebagai berikut :
a. Garis sumbu suatu segitiga
Garis sumbu segitiga merupakan garis bagi tegak lurus setiap sisi segitiga tersebut.
Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik.
b. Garis tinggi suatu segitiga
Garis tinggi suatu segitiga merupakan garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut. Karena segitiga mempunyai tiga titik sudut yang sanggup dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah.
Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter.
c. Garis berat suatu segitiga
Garis berat yakni garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di depannya. Karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan sentra kesetimbangan segitiga.
Jika sebuah segitiga digantungkan sempurna pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.
Garis bagi sudut segitiga yakni garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga sehingga menjadi dua pecahan yang sama besar.
Terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga.
Titik ini merupakan titik sentra bundar dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung semua sisinya).
Berikut ini akan diberikan beberapa pola soal yang berkaitan dengan segi-tiga dan segi-empat yakni sebagai berikut:
2. Segi-empat
segiempat sanggup didefinisikan sebagai poligon dengan empat sisi. Ada terdapat beberapa macam segi-empat, yakni sebagai berikut:
a. Jajar genjang (parallelogram)
Jajar genjang merupakan segi empat yang dua pasang sisi-sisi berhadapannya sejajar. Segi empat ABCD di samping merupakan jajar genjang sebab AB sejajar DC dan AD sejajar BC
Jajar genjang mempunyai sifat-sifat:
1) Diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga kongruen.
2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang.
4). Sudut-sudut yang berdekatan saling berpelurus
5). Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
6) Luas jajar genjang dirumuskan : L = ganjal x tinggi
b. Persegi panjang
Persegi panjang yakni jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku.
1) Karena persegi panjang merupakan jajar genjang, maka semua sifat jajar genjang dimiliki oleh persegi panjang.
2) Keempat sudutnya sama besar (equiangular) dan berupa sudut siku-siku.
3) Diagonal persegi panjang sama panjang.
4) Luas persegi panjang dirumuskan :
Luas = panjang x lebar = AB x AD
c. Belah ketupat (rhombus)
Belah ketupat merupakan jajar genjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena belah ketupat merupakan jajar genjang, maka semua sifat jajar genjang menjadi sifat belah ketupat.
1) Belah ketupat mempunyai semua sifat jajar genjang.
2) Semua sisi belah ketupat mempunyai panjang yang sama (equilateral).
3) Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
4) Diagonal-diagonal belah ketupat membagi dua sama besar sudut belah ketupat.
5) Luas belah ketupat dirumuskan :
L = ganjal x tinggi = AB x PD atau
L = ½ (diagonal1 x diagonal2) = ½ (AC x BD)
d. Persegi (square)
Persegi merupakan persegi panjang yang dua sisi berdekatannya sama panjang. Karena persegi merupakan kasus khusus dari persegi panjang dan persegi panjang merupakan kasus khusus dari jajar genjang maka persegi mempunyai semua sifat persegi panjang dan sekaligus mempunyai semua sifat jajar genjang.
Karena persegi mempunyai dua sisi berdekatan yang sama panjang, maka persegi merupakan belah ketupat sehingga semua sifat belah ketupat juga dimiliki oleh persegi.
Persegi mempunyai semua sifat jajargenjang, persegi panjang, dan belah ketupat.
e. Trapesium (trapezoid/trapezium)
trapesium merupakan segi empat yang mempunyai sempurna sepasang sisi yang sejajar.
Jika AB sejajar CD dan AD tidak sejajar BC, maka segi empat ABCD merupakan trapesium.
Trapesium sama kaki yakni trapesium yang kaki-kakinya sama panjang (AD = BC)
1) Masing-masing pasangan sudut berdekatan di antara dua sisi sejajar suatu trapesium saling berpelurus.
2) Pasangan sudut ganjal suatu trapesium samakaki sama besar.
3) Diagonal-diagonal trapesium sama kaki sama panjang.
4) Luas trapezium dirumuskan :
L = ½ (jumlah sisi-sisi sejajar x tinggi) = ½ (AB + DC)PD
g. Layang-layang (kite)
Layang-layang yakni segi empat konveks yang mempunyai dua pasang sisi berdekatan yang kongruen, pasangan sisi kongruen yang satu berbeda dengan pasangan sisi kongruen yang lain.
Pada layang-layang diatas, diagonal BD membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen. Diagonal AC membagi layang-layang menjadi dua segitiga samakaki yang tidak kongruen. <D dan <B yang dibuat oleh dua sisi yang kongruen dinamakan sebagai sudut puncak (vertex angles) sedangkan <A dan <C yakni sudut bukan puncak (non vertex angles).
1) Kedua sudut bukan puncak suatu layang-layang besarnya sama.
2) Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.
3) Salah satu diagonal merupakan garis bagi diagonal yang lain.
4) Sudut puncak suatu layang-layang dibagi dua sama besar oleh diagonal yang melalui titik puncak.
Berikut ini akan diberikan beberapa pola soal ihwal segi-empat
3. Lingkaran
Lingkaran merupakan kawasan yang dibatasi oleh titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut sebagai sentra lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada bundar ke sentra dinamakan jari-jari. Istilah jari-jari juga sanggup dipakai untuk menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan sentra bundar dengan titik pada lingkaran.
Apotema suatu bundar merupakan ruas garis yang menghubungkan sentra bundar ke titik tengah tali busur. Istilah apotema sanggup dipakai untuk menyatakan panjangnya. Sebagai pola pada gambar di atas, ruas garis PQ, ataupun panjang PQ sanggup disebut sebagai apotema. Apotema tegak lurus tali busur BF yang bersesuaian.
Tembereng merupakan kawasan yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya. Juring bundar merupakan kawasan yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur. Perhatikan pada gambar di atas, pecahan DPE yang diarsir merupakan juring kecil , dan pecahan yang diarsir ABF merupakan tembereng lingkaran.
Untuk setiap bundar perbandingan dari keliling dan diameter selalu bernilai tetap yaitu mendekati 3,14. Nilai ini disebut sebagai Ï€ (dibaca “pi”). Sehingga berlaku :
Selanjutnya pada bundar berlaku pula perbandingan :
L = π r2
Dengan r yakni panjang jari-jari lingkaran.
Panjang AP = BP = CP, sehingga ΔAPB dan ΔAPC sama kaki serta berlaku <BAP = <ABP dan <CAP = <ACP.
Karena jumlah sudut segitiga 1800 maka pada ΔAPB berlaku <BPA = 180o – 2<BAP dan ΔAPC berlaku <APC = 180o – 2<CAP .
Sehingga :
<BPC = 360o – <BPA – <APC
<BPC = 360o – (180o – 2<BAP) – (180o – 2<CAP)
<BPC = 2(<BAP + CAP)
<BPC = 2<BAC
Makara besar sudut sentra sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Dari sifat ini sanggup diturunkan sifat bahwa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, akan selalu sama besar.
Sebagai bukti akan diperlihatkan pada gambar berikut :
<BPC = 2<BDC ………. (1)
<BPC = 2<BAC ………..(2)
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa
<BAC = <BDC
Garis singgung bundar yakni garis yang memotong bundar sempurna di satu titik..
Garis singgung ini tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgungnya.
Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh soal ihwal lingkaran, yakni sebagai berikut:
