Pernyataan Beragam (Implikasi Dan Biimplikasi)
(3) Implikasi
Implikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p→q” Dalam bahasa lain ditulis :
“q jikalau p”
“p syarat cukup untuk q”
“q syarat perlu supaya p”
Dimana p dinamakan lantaran tragedi (anteseden) dan q dinamakan akhir tragedi (konsekwen)
Tabel kebenaran untuk implikasi sanggup dilihat pada gambar di bawah ini
Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa implikasi dari jikalau p maka q akan bernilai salah jikalau p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
04. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini :
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Jawab
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
Misalkan
p : “Kambing berkaki dua” (salah)
q : “Kerbau berkaki empat (Benar)
Maka : p → q ≡ S → B ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
Misalkan
p : “3 faktor dari 12” (Benar)
q : “12 habis dibagi 5 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Ambil x = 9 sehingga pernyataan di atas berbunyi :
”Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6
Misalkan
p : “9 habis dibagi 3” (Benar)
q : “9 habis dibagi 6 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar
05. Tentukanlah nilai x supaya implikasi berikut ini bernilai benar
(a) Jika 2x – 6 = 8 maka 3x + 5 = 2
(b) Jika x2 – 9 = 0 maka x2 – 5x + 6 = 0
(c) Jika 2x – 3 = 5 maka Surabaya ibukota Jawa Timur
(d) Jika 4x + 5 = 17 maka ayam hewan berkaki empat
Jawab
(a) p : “2x – 6 = 8”
p : “2x = 14”
p : “x = 7” Benar jikalau x = 7
q : “3x + 5 = 2”
q : “3x = –3”
q : “x = –1” Benar jikalau x = –1
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ 7 dan x bilangan real
(b) p : “x2 – 9 = 0”
p : “(x – 3)(x + 3) = 0” Benar jikalau x = –3 dan x = 3
q : “x2 – 5x + 6 = 0”
q : “(x – 6)(x - 3) = 0” Benar jikalau x = 3 dan x = 6
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ –3 dan x bilangan real
(c) p : “2x – 3 = 5”
p : “2x = 8”
p : “x = 4” Benar jikalau x = 4
q : “Surabaya ibukota Jawa Timur” (Pernyataan benar)
Makara p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real
(d) p : “4x + 5 = 17”
p : “4x = 12”
p : “x = 3” Benar jikalau x = 4
q : “ayam hewan berkaki empat” (Pernyataan salah)
Makara p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4
(4) Biimplikasi
Biimplikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jikalau dan hanya jikalau q” ditulis “p↔q” .
Dalam hal ini, p dan q keduanya sanggup dianggap anteseden dan sanggup dianggap konsekwen
Tabel kebenaran untuk Biimplikasi sanggup dilihat pada gambar di samping
Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa biimplikasi dari p jikalau dan hanya jikalau q akan bernilai benar jikalau p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
06. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini :
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama jikalau dan hanya jikalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
(b) 15 yaitu bilangan genap jikalau dan hanya jikalau 15 tidak habis dibagi 2
(c) x yaitu bilangan prima jikalau dan hanya jikalau x tidak habis dibagi 6
(d) x lebihdari 6 jikadanhanya x lebihdari 3
(e) ABC yaitu segitiga sama sisi jikalau dan hanya jikalau ketiga sisinya sama panjang
Jawab
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama jikalau dan hanya jikalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
Misalkan
p : “Soeharto yaitu presiden RI pertama” (salah)
q : “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat (Salah)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar
(b) 15 yaitu bilangan genap jikalau dan hanya jikalau 15 tidak habis dibagi 2
Misalkan
p : “15 yaitu bilangan genap” (Salah)
q : “15 tidak habis dibagi 2 (Benar)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai salah
(c) x yaitu bilangan prima jikalau dan hanya jikalau x tidak habis dibagi 6
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x yaitu bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar)
Jika x tidak habis dibagi 6 maka x yaitu bilangan prima (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah
(d) x lebih dari 6 jikalau dan hanya x lebih dari 3
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x lebih dari 6 maka x lebih dari 3 (Benar)
Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah
(e) ABC yaitu segitiga sama sisi jikalau dan hanya jikalau ketiga sisinya sama panjang
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika ABC yaitu segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC yaitu segitiga sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar
07. Manakah diantara implikasi berikut ini sanggup diganti dengan biimplikasi
(a) Jika segi empat ABCD yaitu persegi maka keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Jika sebuah bilangan habis dibagi empat maka bilangan tersebut juga habis dibagi dua
(c) Jika persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real maka diskriminannya negatif
Jawab
(a) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar maka segiempat ABCD yaitu persegi (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
segiempat ABCD yaitu persegi Jika dan hanya jikalau keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika sebuah bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut juga habis dibagi empat (Salah)
Sehingga pernyataan di atas tidak sanggup diganti biimplikasi
(c) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika diskriminannya negatif maka persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real Jika dan hanya jikalau diskriminannya negatif
08. Tentukanlah nilai x supaya biimplikasi berikut ini bernilai benar
(a) x – 5 = 3 jikalau dan hanya 3x + 2 = 8
(b) x2 – 6x + 8 = 0 jikalau dan hanya jikalau x2 + 3x – 10 = 0
(c) 4x + 5 = 25 jikalau dan hanya jikalau 7 yaitu bilangan prima
(d) 5x – 7 = 23 jikalau dan hanya jikalau 20 yaitu faktor dari 5
Jawab
(a) p : “x – 5 = 3”
p : “x = 8” Benar jikalau x = 8
q : “3x + 2 = 8”
q : “3x = 6”
q : “x = 2” Benar jikalau x = 2
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 2 dan 8
(b) p : “x2 – 6x + 8 = 0”
p : “(x – 4)(x – 2) = 0” Benar jikalau x = 2 dan x = 4
q : “x2 + 3x – 10 = 0”
q : “(x – 5)(x – 2) = 0” Benar jikalau x = 2 dan x = 5
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4 dan 5
(c) p : “4x + 5 = 25”
p : “4x = 20”
p : “x = 5” Benar jikalau x = 5
q : “7 yaitu bilangan prima” (Benar)
Makara p ↔ q bernilai benar hanya untuk x = 5
(d) p : “5x – 7 = 23”
p : “5x = 30”
p : “x = 6” Benar jikalau x = 6
q : “20 yaitu faktor dari 5” (Salah)
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 5
Implikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p→q” Dalam bahasa lain ditulis :
“q jikalau p”
“p syarat cukup untuk q”
“q syarat perlu supaya p”
Dimana p dinamakan lantaran tragedi (anteseden) dan q dinamakan akhir tragedi (konsekwen)
Tabel kebenaran untuk implikasi sanggup dilihat pada gambar di bawah ini
Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa implikasi dari jikalau p maka q akan bernilai salah jikalau p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
04. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini :
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Jawab
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
Misalkan
p : “Kambing berkaki dua” (salah)
q : “Kerbau berkaki empat (Benar)
Maka : p → q ≡ S → B ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
Misalkan
p : “3 faktor dari 12” (Benar)
q : “12 habis dibagi 5 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Ambil x = 9 sehingga pernyataan di atas berbunyi :
”Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6
Misalkan
p : “9 habis dibagi 3” (Benar)
q : “9 habis dibagi 6 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai Salah
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar
05. Tentukanlah nilai x supaya implikasi berikut ini bernilai benar
(a) Jika 2x – 6 = 8 maka 3x + 5 = 2
(b) Jika x2 – 9 = 0 maka x2 – 5x + 6 = 0
(c) Jika 2x – 3 = 5 maka Surabaya ibukota Jawa Timur
(d) Jika 4x + 5 = 17 maka ayam hewan berkaki empat
Jawab
(a) p : “2x – 6 = 8”
p : “2x = 14”
p : “x = 7” Benar jikalau x = 7
q : “3x + 5 = 2”
q : “3x = –3”
q : “x = –1” Benar jikalau x = –1
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ 7 dan x bilangan real
(b) p : “x2 – 9 = 0”
p : “(x – 3)(x + 3) = 0” Benar jikalau x = –3 dan x = 3
q : “x2 – 5x + 6 = 0”
q : “(x – 6)(x - 3) = 0” Benar jikalau x = 3 dan x = 6
Makara supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ –3 dan x bilangan real
(c) p : “2x – 3 = 5”
p : “2x = 8”
p : “x = 4” Benar jikalau x = 4
q : “Surabaya ibukota Jawa Timur” (Pernyataan benar)
Makara p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real
(d) p : “4x + 5 = 17”
p : “4x = 12”
p : “x = 3” Benar jikalau x = 4
q : “ayam hewan berkaki empat” (Pernyataan salah)
Makara p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4
(4) Biimplikasi
Biimplikasi yaitu kalimat beragam yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jikalau dan hanya jikalau q” ditulis “p↔q” .
Dalam hal ini, p dan q keduanya sanggup dianggap anteseden dan sanggup dianggap konsekwen
Tabel kebenaran untuk Biimplikasi sanggup dilihat pada gambar di samping
Dari tabel tersebut sanggup disimpulkan bahwa biimplikasi dari p jikalau dan hanya jikalau q akan bernilai benar jikalau p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah
Untuk lebih jelasnya pelajarilah conto soal berikut ini
06. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini :
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama jikalau dan hanya jikalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
(b) 15 yaitu bilangan genap jikalau dan hanya jikalau 15 tidak habis dibagi 2
(c) x yaitu bilangan prima jikalau dan hanya jikalau x tidak habis dibagi 6
(d) x lebihdari 6 jikadanhanya x lebihdari 3
(e) ABC yaitu segitiga sama sisi jikalau dan hanya jikalau ketiga sisinya sama panjang
Jawab
(a) Soeharto yaitu presiden RI pertama jikalau dan hanya jikalau danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
Misalkan
p : “Soeharto yaitu presiden RI pertama” (salah)
q : “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat (Salah)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Makara pernyataan beragam di atas bernilai benar
(b) 15 yaitu bilangan genap jikalau dan hanya jikalau 15 tidak habis dibagi 2
Misalkan
p : “15 yaitu bilangan genap” (Salah)
q : “15 tidak habis dibagi 2 (Benar)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Makara pernyataan beragam di atas bernilai salah
(c) x yaitu bilangan prima jikalau dan hanya jikalau x tidak habis dibagi 6
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x yaitu bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar)
Jika x tidak habis dibagi 6 maka x yaitu bilangan prima (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah
(d) x lebih dari 6 jikalau dan hanya x lebih dari 3
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x lebih dari 6 maka x lebih dari 3 (Benar)
Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah
(e) ABC yaitu segitiga sama sisi jikalau dan hanya jikalau ketiga sisinya sama panjang
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika ABC yaitu segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC yaitu segitiga sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar
07. Manakah diantara implikasi berikut ini sanggup diganti dengan biimplikasi
(a) Jika segi empat ABCD yaitu persegi maka keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Jika sebuah bilangan habis dibagi empat maka bilangan tersebut juga habis dibagi dua
(c) Jika persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real maka diskriminannya negatif
Jawab
(a) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar maka segiempat ABCD yaitu persegi (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
segiempat ABCD yaitu persegi Jika dan hanya jikalau keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika sebuah bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut juga habis dibagi empat (Salah)
Sehingga pernyataan di atas tidak sanggup diganti biimplikasi
(c) Pernyataan diatas jikalau dibalik berbunyi :
Jika diskriminannya negatif maka persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real (Benar)
Sehingga pernyataan di atas sanggup diganti biimplikasi yang bunyinya:
persamaan ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar-akar real Jika dan hanya jikalau diskriminannya negatif
08. Tentukanlah nilai x supaya biimplikasi berikut ini bernilai benar
(a) x – 5 = 3 jikalau dan hanya 3x + 2 = 8
(b) x2 – 6x + 8 = 0 jikalau dan hanya jikalau x2 + 3x – 10 = 0
(c) 4x + 5 = 25 jikalau dan hanya jikalau 7 yaitu bilangan prima
(d) 5x – 7 = 23 jikalau dan hanya jikalau 20 yaitu faktor dari 5
Jawab
(a) p : “x – 5 = 3”
p : “x = 8” Benar jikalau x = 8
q : “3x + 2 = 8”
q : “3x = 6”
q : “x = 2” Benar jikalau x = 2
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 2 dan 8
(b) p : “x2 – 6x + 8 = 0”
p : “(x – 4)(x – 2) = 0” Benar jikalau x = 2 dan x = 4
q : “x2 + 3x – 10 = 0”
q : “(x – 5)(x – 2) = 0” Benar jikalau x = 2 dan x = 5
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4 dan 5
(c) p : “4x + 5 = 25”
p : “4x = 20”
p : “x = 5” Benar jikalau x = 5
q : “7 yaitu bilangan prima” (Benar)
Makara p ↔ q bernilai benar hanya untuk x = 5
(d) p : “5x – 7 = 23”
p : “5x = 30”
p : “x = 6” Benar jikalau x = 6
q : “20 yaitu faktor dari 5” (Salah)
Makara p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 5