Barisan Dan Deret Aritmatika
Barisan ialah kumpulan objek-obejek yang disusun berdasarkan pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya hingga objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut hingga n suku dinamakan deret.
Barisan aritmatika ialah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 ialah barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 ialah barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 ialah deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … ialah deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:
Makara suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai referensi diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27
Untuk memilih rumus jumlah hingga suku ke-n, sanggup ditentukan dengan cara:
Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah sanggup ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai referensi diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan hingga 15 suku, maka suku tengahnya sanggup ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31
Selanjutnya kita juga sanggup merumuskan kekerabatan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1
Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah referensi soal berikut ini:
1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15 = 2 + (14)5
U15 = 2 + 70
U15 = 72
2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah hingga 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286
3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga ialah 12 dan suku ke enam ialah 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 → a + (3 – 1)b = 12 → a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 → a + (6 – 1)b = 27 → a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)
sehingga a + 2(5) = 12 maka a = 2
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42
4. Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 = ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19
5. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Makara U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22
6. Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 hingga Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Makara banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ialah Rp. 2.600.000
7. Suatu bioskop mempunyai 10 formasi bangku. Pada formasi pertama ada 20 bangku. Pada formasi kedua ada 24 bangku. Pada formasi ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak dingklik dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 = ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku
Barisan aritmatika ialah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 ialah barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 ialah barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 ialah deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … ialah deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:
Makara suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai referensi diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27
Untuk memilih rumus jumlah hingga suku ke-n, sanggup ditentukan dengan cara:
Sn = ½ n (a + Un)
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
Sebagai referensi diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
S6 = ½ 6 (a + U6) = ½ 6 (3 + 27) = 90
atau
S6 = ½ 6 [2a+(6+1)b] = ½ 6 [2 . 3 + (8)4] = 90
Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah sanggup ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai referensi diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan hingga 15 suku, maka suku tengahnya sanggup ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31
Selanjutnya kita juga sanggup merumuskan kekerabatan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1
Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah referensi soal berikut ini:
1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15 = 2 + (14)5
U15 = 2 + 70
U15 = 72
2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah hingga 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286
3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga ialah 12 dan suku ke enam ialah 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 → a + (3 – 1)b = 12 → a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 → a + (6 – 1)b = 27 → a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42
4. Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 = ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19
5. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Makara U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22
6. Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 hingga Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Makara banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ialah Rp. 2.600.000
7. Suatu bioskop mempunyai 10 formasi bangku. Pada formasi pertama ada 20 bangku. Pada formasi kedua ada 24 bangku. Pada formasi ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak dingklik dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 = ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku