Operasi Pembagian Pada Polinomial
Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan. Sebagai teladan akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut:
Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga hukum bersusun diatas.
Sebagai teladan akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut:
Dalam hal ini :
x – 3 dinamakan pembagi
2x3 – 5x2 + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x2 + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x3 – 5x2 + 4x + 3 = (x – 3)( 2x2 + x + 7) + 24
Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom sanggup juga dilakukan dengan denah Horner. Sebagai teladan akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) memakai metoda Horner sebagai berikut:
Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x2 + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:
a. Pembagian polinom dengan (x – k)
Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x – k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k – k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Makara Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)
b. Pembagian polinom dengan (ax – b)
c. Pembagian polinom dengan (x – x1)(x – x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x – x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya ialah sebagai berikut :
F(x) = (x – x1)H1(x) + s1
F(x) = (x – x1) [(x – x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x – x1)(x – x2) H2(x) + (x – x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini mengatakan polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x – x1)s2 + s1
d. Pembagian polinom dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) didapat dari proses berikut:
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada teladan soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x3 – 3x2 – 5x – 3) : (x – 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Makara : Hasil bagi = x2 – x – 7
Sisa = –17
(b) Dengan denah Horner
Hasil Bagi = 1x2 – 1x – 7 = x2 – x – 7
Sisa = –17
02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x4 + 3x2 – 2x + 5) : (2x – 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
(b) Dengan denah Horner
03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x3 – 2x2 – 6x + 8) : (x2 – 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Makara : Hasil bagi = x – 2
Sisa = 3x – 10
(b) Dengan denah Horner
Pembagi : x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
x1 = 3 dan x2 = –3
sehingga
Hasil Bagi = x – 2
Sisa = (x – x1)s2 + s1
= (x – 3)3 + (–1)
= 3x – 9 – 1
= 3x – 10
04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x4 + 3x3 – 12x2 – 13x + 5) : (2x2 + 3x – 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab
05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x4 + 8x3 – 5x2 + 2x – 1) : (4x2 – 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab
06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x3 – 8x2 + 15x – 6) : (x2 – 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab
Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga hukum bersusun diatas.
Sebagai teladan akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut:
Dalam hal ini :
x – 3 dinamakan pembagi
2x3 – 5x2 + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x2 + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x3 – 5x2 + 4x + 3 = (x – 3)( 2x2 + x + 7) + 24
Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa
Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom sanggup juga dilakukan dengan denah Horner. Sebagai teladan akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x3 – 5x2 + 4x + 3) dengan (x – 3) memakai metoda Horner sebagai berikut:
Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x2 + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:
a. Pembagian polinom dengan (x – k)
Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x – k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k – k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Makara Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)
b. Pembagian polinom dengan (ax – b)
c. Pembagian polinom dengan (x – x1)(x – x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x – x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya ialah sebagai berikut :
F(x) = (x – x1)H1(x) + s1
F(x) = (x – x1) [(x – x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x – x1)(x – x2) H2(x) + (x – x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini mengatakan polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x – x1)s2 + s1
d. Pembagian polinom dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) didapat dari proses berikut:
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada teladan soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x3 – 3x2 – 5x – 3) : (x – 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Makara : Hasil bagi = x2 – x – 7
Sisa = –17
(b) Dengan denah Horner
Sisa = –17
02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x4 + 3x2 – 2x + 5) : (2x – 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
(b) Dengan denah Horner
03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x3 – 2x2 – 6x + 8) : (x2 – 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun
Sisa = 3x – 10
(b) Dengan denah Horner
Pembagi : x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
x1 = 3 dan x2 = –3
sehingga
Hasil Bagi = x – 2
Sisa = (x – x1)s2 + s1
= (x – 3)3 + (–1)
= 3x – 9 – 1
= 3x – 10
04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x4 + 3x3 – 12x2 – 13x + 5) : (2x2 + 3x – 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab
05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x4 + 8x3 – 5x2 + 2x – 1) : (4x2 – 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab
06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x3 – 8x2 + 15x – 6) : (x2 – 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab
