Fungsi Distribusi Binomial
Suatu besaran yang hanya sanggup mengambil nilai-nilai berbeda dinamakan variabel Sedangkan variabel diskrit ialah variabel yang diperoleh dari aktivitas membilang sehingga mempunyai nilai-nilai bulat.
Jika variabel diskrit tersebut diperoleh dari suatu eksperimen acak, maka dianamakan variabel diskrit acak
Sebagai contoh, pelantunan tiga buah uang logam dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka (A) atau gambar (G)
Kegiatan ini mempunyai ruang sampel S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, GGG}, sehingga n(S) = 8
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan banyaknya muncul angka
Maka :
X = 0 : {GGG}, maka n(X = 0) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/8
X = 1 : {AGG, GAG, GGA}, maka n(X = 1) = 3 sehingga P(X = 1) = 3/8
X = 2 : {GAA, AGA, AAG}, maka n(X = 2) = 3 sehingga P(X = 2) = 3/8
X = 3 : {AAA} n(X = 3) = 1, maka sehingga P(X = 3) = 1/8
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Tabel distribusi probabilitas haruslah mempunyai nilai total 1. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah 1.
Dari tabel distribusi probabilitas diatas sanggup dibentuk fungsi distribusi probabilitas, yakni
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa Suatu fungsi F(X) dikatakan fungsi distribusi probabilitas jikalau memenuhi syarat sebagai berikut:
(1) X1 , X2 , X3 , …, dan Xn ialah tragedi yang saling lepas
(2) P(X1) + P(X2) + P(X3) + …+ P(Xn) = 1
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini:
01. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya genap.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan jumlah dua mata mata dadu yang mengatakan angka genap, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 2 : {(11)}, maka n(X = 2) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/36
X = 4 : {(1,3),(3,1),(2,2)}, maka n(X = 4) = 3 sehingga P(X = 4) = 1/12
X = 6 : {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}, maka n(X = 6) = 5 sehingga P(X = 6) = 5/36
X = 8 : {(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}, maka n(X = 8) = 5 sehingga P(X = 8) = 5/36
X = 10: {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 12: {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
02. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari 8.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan jumlah dua mata mata dadu yang mengatakan nilai lebih dari 8, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 9 : {(45),(5,4),(6,3),(3,6)}, maka n(X = 9) = 4 sehingga P(X = 0) = 1/9
X = 10 : {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 11 : {(6,5),(5,6)}, maka n(X = 11) = 2 sehingga P(X = 11) = 1/18
X = 12 : {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
03. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning, 2 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil tiga bola sekaligus dari dalam kotak tersebut, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang terambilnya bola putih.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan banyaknya terambil bola putih, maka
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
Eksperimen binomial ialah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli)
Variabel acak X ialah jumlah total sukses dalam n kali percobaan.
Jika p ialah peluang sukses dan q ialah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku:
p + q = 1
Dalam eksperimen binomial dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan:
Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini :
05. Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A ialah tragedi munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu.
Jawab
Diketahui : n = 5
x = 3
maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36.
06. Suatu percobaan melantunkan 4 uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak 5 kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga “gambar” sebanyak dua kali dalam percobaan itu ?
Jawab
Diketahui : n = 5 dan x = 2
maka A = {GGGA, GGAG, GAGG, AGGG} n(A) = 4 dan n(S) = 42 = 16
07. Sebuah tes terdiri dari 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda menentukan tanggapan secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar 6 nomor ?
Jawab
Diketahui : n = 10 dan x = 6
Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan memakai rumus :
P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r)
dan
P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r+1) + … + P(X = n)
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini :
08. Salah satu kiprah layanan pelanggan dari suatu perusahaan telepon ialah kecepatan melayani gangguan dirumah. Menurut data peluang gangguan pada layanan rumah sanggup diperbaiki pada hari pengaduan ialah 0,8.
Untuk enam gangguan pertama yang dilaporkan pada suatu hari tertentu, tentukan peluang paling banyak 4 gangguan sanggup diperbaiki pada hari yang sama
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 0,8 dan peluang gagal q = 1 – 0,8 = 0,2
Misalkan X ialah banyak gangguan sanggup diperbaiki pada hari terima laporan, maka
09. Suatu paket soal ujian dengan 10 nomor soal pilihan ganda dimana setiap soal mengandung 5 obtion pilihan jawaban.
Misalkan seorang siswa menentukan tanggapan secara acak untuk setiap soal, maka berapakah peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian ?
(Anggap siswa tidak lulus jikalau tanggapan benarnya paling banyak 5)
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/5 = 0,2 dan peluang gagal q = 1 – 0,2 = 0,8
Misalkan X ialah banyak tanggapan benar yang diperoleh siswa, maka
10. Suatu pasangan pengantin gres bermaksud mempunyai enam anak. Jika impian mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak wanita yang mereka miliki
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/2 dan peluang gagal q = 1 – (1/2) = 1/2
Misalkan X ialah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka
Jika variabel diskrit tersebut diperoleh dari suatu eksperimen acak, maka dianamakan variabel diskrit acak
Sebagai contoh, pelantunan tiga buah uang logam dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka (A) atau gambar (G)
Kegiatan ini mempunyai ruang sampel S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, GGG}, sehingga n(S) = 8
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan banyaknya muncul angka
Maka :
X = 0 : {GGG}, maka n(X = 0) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/8
X = 1 : {AGG, GAG, GGA}, maka n(X = 1) = 3 sehingga P(X = 1) = 3/8
X = 2 : {GAA, AGA, AAG}, maka n(X = 2) = 3 sehingga P(X = 2) = 3/8
X = 3 : {AAA} n(X = 3) = 1, maka sehingga P(X = 3) = 1/8
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Tabel distribusi probabilitas haruslah mempunyai nilai total 1. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah 1.
Dari tabel distribusi probabilitas diatas sanggup dibentuk fungsi distribusi probabilitas, yakni
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa Suatu fungsi F(X) dikatakan fungsi distribusi probabilitas jikalau memenuhi syarat sebagai berikut:
(1) X1 , X2 , X3 , …, dan Xn ialah tragedi yang saling lepas
(2) P(X1) + P(X2) + P(X3) + …+ P(Xn) = 1
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini:
01. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya genap.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan jumlah dua mata mata dadu yang mengatakan angka genap, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 2 : {(11)}, maka n(X = 2) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/36
X = 4 : {(1,3),(3,1),(2,2)}, maka n(X = 4) = 3 sehingga P(X = 4) = 1/12
X = 6 : {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}, maka n(X = 6) = 5 sehingga P(X = 6) = 5/36
X = 8 : {(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}, maka n(X = 8) = 5 sehingga P(X = 8) = 5/36
X = 10: {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 12: {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
02. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari 8.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan jumlah dua mata mata dadu yang mengatakan nilai lebih dari 8, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 9 : {(45),(5,4),(6,3),(3,6)}, maka n(X = 9) = 4 sehingga P(X = 0) = 1/9
X = 10 : {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 11 : {(6,5),(5,6)}, maka n(X = 11) = 2 sehingga P(X = 11) = 1/18
X = 12 : {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
03. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning, 2 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil tiga bola sekaligus dari dalam kotak tersebut, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang terambilnya bola putih.
Jawab
Misalkan X ialah variabel yang mengatakan banyaknya terambil bola putih, maka
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
Eksperimen binomial ialah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli)
Variabel acak X ialah jumlah total sukses dalam n kali percobaan.
Jika p ialah peluang sukses dan q ialah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku:
p + q = 1
Dalam eksperimen binomial dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan:
Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini :
05. Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A ialah tragedi munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu.
Jawab
Diketahui : n = 5
x = 3
maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36.
06. Suatu percobaan melantunkan 4 uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak 5 kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga “gambar” sebanyak dua kali dalam percobaan itu ?
Jawab
Diketahui : n = 5 dan x = 2
maka A = {GGGA, GGAG, GAGG, AGGG} n(A) = 4 dan n(S) = 42 = 16
07. Sebuah tes terdiri dari 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda menentukan tanggapan secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar 6 nomor ?
Jawab
Diketahui : n = 10 dan x = 6
Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan memakai rumus :
P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r)
dan
P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r+1) + … + P(X = n)
Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini :
08. Salah satu kiprah layanan pelanggan dari suatu perusahaan telepon ialah kecepatan melayani gangguan dirumah. Menurut data peluang gangguan pada layanan rumah sanggup diperbaiki pada hari pengaduan ialah 0,8.
Untuk enam gangguan pertama yang dilaporkan pada suatu hari tertentu, tentukan peluang paling banyak 4 gangguan sanggup diperbaiki pada hari yang sama
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 0,8 dan peluang gagal q = 1 – 0,8 = 0,2
Misalkan X ialah banyak gangguan sanggup diperbaiki pada hari terima laporan, maka
09. Suatu paket soal ujian dengan 10 nomor soal pilihan ganda dimana setiap soal mengandung 5 obtion pilihan jawaban.
Misalkan seorang siswa menentukan tanggapan secara acak untuk setiap soal, maka berapakah peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian ?
(Anggap siswa tidak lulus jikalau tanggapan benarnya paling banyak 5)
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/5 = 0,2 dan peluang gagal q = 1 – 0,2 = 0,8
Misalkan X ialah banyak tanggapan benar yang diperoleh siswa, maka
10. Suatu pasangan pengantin gres bermaksud mempunyai enam anak. Jika impian mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak wanita yang mereka miliki
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/2 dan peluang gagal q = 1 – (1/2) = 1/2
Misalkan X ialah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka
